Trigonometria Esempi

${(- \sqrt{3} - i)}^{4}$

Passaggio 1

Usa il teorema binomiale.

${(- \sqrt{3})}^{4} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

${(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$1 {\sqrt{3}}^{4} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica ${\sqrt{3}}^{4}$ per $1$ .

${\sqrt{3}}^{4} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.4

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{4}$ come $3^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(3^{\frac{1}{2}})}^{4} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$3^{\frac{4}{2}} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3^{\frac{2}{1}} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.4.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$3^{2} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$9 + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.6

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

$9 + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.7

Moltiplica ${(- 1)}^{3}$ per $- 1$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.1.7.1

Sposta $- 1$ .

$9 + 4 (- {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.7.2

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{3}$ .

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Passaggio 2.1.7.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$9 + 4 ({(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.7.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$9 + 4 ({(- 1)}^{1 + 3} {\sqrt{3}}^{3}) i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.7.3

Somma $1$ e $3$ .

$9 + 4 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{3}) i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$9 + 4 (1 {\sqrt{3}}^{3}) i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.9

Moltiplica ${\sqrt{3}}^{3}$ per $1$ .

$9 + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.10

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{3}$ come $\sqrt{3^{3}}$ .

$9 + 4 \sqrt{3^{3}} i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.11

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$9 + 4 \sqrt{27} i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.12

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 2.1.12.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$9 + 4 \sqrt{9 (3)} i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.12.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$9 + 4 \sqrt{3^{2} \cdot 3} i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.13

Estrai i termini dal radicale.

$9 + 4 (3 \sqrt{3}) i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.14

Moltiplica $3$ per $4$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.15

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.16

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 (1 {\sqrt{3}}^{2}) {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.17

Moltiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ per $1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.18

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 2.1.18.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.18.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.18.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.18.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.1.18.4.1

Elimina il fattore comune.

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.18.4.2

Riscrivi l'espressione.

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{1} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.18.5

Calcola l'esponente.

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3 {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.19

Moltiplica $6$ per $3$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 18 {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.20

Applica la regola del prodotto a $- i$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 18 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.21

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 18 (1 i^{2}) + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.22

Moltiplica $i^{2}$ per $1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 18 i^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.23

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 18 \cdot - 1 + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.24

Moltiplica $18$ per $- 1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.25

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.26

Applica la regola del prodotto a $- i$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} ({(- 1)}^{3} i^{3}) + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.27

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} (- i^{3}) + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.28

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} (- (i^{2} \cdot i)) + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.29

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} (- (- 1 \cdot i)) + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.30

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} (- - i) + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.31

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} (1 i) + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.32

Moltiplica $i$ per $1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + {(- i)}^{4}$

Passaggio 2.1.33

Applica la regola del prodotto a $- i$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + {(- 1)}^{4} i^{4}$

Passaggio 2.1.34

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + 1 i^{4}$

Passaggio 2.1.35

Moltiplica $i^{4}$ per $1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + i^{4}$

Passaggio 2.1.36

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

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Passaggio 2.1.36.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + {(i^{2})}^{2}$

Passaggio 2.1.36.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + {(- 1)}^{2}$

Passaggio 2.1.36.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + 1$

Passaggio 2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 2.2.1

Sottrai $18$ da $9$ .

$12 \sqrt{3} i - 9 - 4 \sqrt{3} i + 1$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $4 \sqrt{3} i$ da $12 \sqrt{3} i$ .

$8 \sqrt{3} i - 9 + 1$

Passaggio 2.2.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.2.3.1

Somma $- 9$ e $1$ .

$8 \sqrt{3} i - 8$

Passaggio 2.2.3.2

Riordina $8 \sqrt{3} i$ e $- 8$ .

$- 8 + 8 \sqrt{3} i$