Trigonometria Esempi

$\cos (\frac{7 π}{12}) \cos (\frac{π}{3}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{7 π}{12})$ è $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi $\frac{7 π}{12}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$\cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) \cos (\frac{π}{3}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.1.2

Applica l'identità a mezzo angolo per il coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) \cos (\frac{π}{3}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.1.3

Cambia $\pm$ in $-$ , poiché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} \cos (\frac{π}{3}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.1.4

Semplifica $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}} \cos (\frac{π}{3}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.1.4.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{3}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.1.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{3}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.1.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{3}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.1.4.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (\frac{π}{3}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.1.4.6

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.1.4.6.1

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} \cos (\frac{π}{3}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.1.4.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} \cos (\frac{π}{3}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.1.4.7

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \cos (\frac{π}{3}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.1.4.8

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.1.4.8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (\frac{π}{3}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.1.4.8.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cos (\frac{π}{3}) + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.3

Moltiplica $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{7 π}{12})$ è $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

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Passaggio 1.4.1

Riscrivi $\frac{7 π}{12}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.4.2

Applica la formula di bisezione per il seno.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.4.3

Cambia $\pm$ in $+$ poiché il seno è positivo nel secondo quadrante.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.4.4

Semplifica $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

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Passaggio 1.4.4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}} \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.4.4.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.4.4.3

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Passaggio 1.4.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.4.4.3.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $1$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.4.4.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.4.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.4.4.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.4.4.7

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.4.4.7.1

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.4.4.7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.4.4.8

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.4.4.9

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.4.4.9.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.4.4.9.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.6

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Passaggio 1.6.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.6.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.6.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4} + \frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 3}}{4}$

Passaggio 2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 3}}{4}$

Passaggio 2.2

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{2 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{- (\sqrt{2 - \sqrt{3}}) + \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 3}}{4}$

Passaggio 2.3

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 3}$ .

$\frac{- (\sqrt{2 - \sqrt{3}}) - 1 (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 3})}{4}$

Passaggio 2.4

Scomponi $- 1$ da $- (\sqrt{2 - \sqrt{3}}) - 1 (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 3})$ .

$\frac{- (\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 3})}{4}$

Passaggio 2.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.5.1

Riscrivi $- (\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 3})$ come $- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 3})$ .

$\frac{- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 3})}{4}$

Passaggio 2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 3}}{4}$

Passaggio 3

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 3}}{4}$

Forma decimale:

$0.70710678 \dots$