Trigonometria Esempi

$\cos (2 x) - \cos (6 x) = 0$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.1

Utilizza l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (6 x) = 0$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $2$ da $6 x$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (2 (3 x)) = 0$

Passaggio 1.1.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.3.1

Utilizza l'identità ad angolo triplo per trasformare $\cos (3 x)$ in $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 {(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))}^{2} - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.2

Riscrivi ${(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))}^{2}$ come $(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 ((4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.3

Espandi $(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.1.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.3.4.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cdot (4 \cos^{3} (x) \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.4.1.2

Moltiplica $\cos^{3} (x)$ per $\cos^{3} (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.1.3.4.1.2.1

Sposta $\cos^{3} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cdot (4 (\cos^{3} (x) \cos^{3} (x))) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.4.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cdot (4 {\cos (x)}^{3 + 3}) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.4.1.2.3

Somma $3$ e $3$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cdot (4 \cos^{6} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.4.1.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.4.1.4

Moltiplica $\cos^{3} (x)$ per $\cos (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.1.3.4.1.4.1

Sposta $\cos (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 (\cos (x) \cos^{3} (x)) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.4.1.4.2

Moltiplica $\cos (x)$ per $\cos^{3} (x)$ .

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Passaggio 1.1.3.4.1.4.2.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 (\cos (x) \cos^{3} (x)) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.4.1.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 {\cos (x)}^{1 + 3} \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.4.1.4.3

Somma $1$ e $3$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 \cos^{4} (x) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.4.1.5

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.4.1.6

Moltiplica $\cos (x)$ per $\cos^{3} (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.1.3.4.1.6.1

Sposta $\cos^{3} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 (\cos^{3} (x) \cos (x)) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.4.1.6.2

Moltiplica $\cos^{3} (x)$ per $\cos (x)$ .

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Passaggio 1.1.3.4.1.6.2.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 (\cos^{3} (x) \cos (x)) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.4.1.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 {\cos (x)}^{3 + 1} \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.4.1.6.3

Somma $3$ e $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos^{4} (x) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.4.1.7

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.4.1.8

Moltiplica $- 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))$ .

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Passaggio 1.1.3.4.1.8.1

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 \cos (x) \cos (x)) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.4.1.8.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 (\cos (x) \cos (x))) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.4.1.8.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 (\cos (x) \cos (x))) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.4.1.8.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 {\cos (x)}^{1 + 1}) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.4.1.8.5

Somma $1$ e $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.4.2

Sottrai $12 \cos^{4} (x)$ da $- 12 \cos^{4} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 24 \cos^{4} (x) + 9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.5

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x)) + 2 (- 24 \cos^{4} (x)) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.6

Semplifica.

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Passaggio 1.1.3.6.1

Moltiplica $16$ per $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (32 \cos^{6} (x) + 2 (- 24 \cos^{4} (x)) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.6.2

Moltiplica $- 24$ per $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.3.6.3

Moltiplica $9$ per $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Passaggio 1.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (32 \cos^{6} (x)) - (- 48 \cos^{4} (x)) - (18 \cos^{2} (x)) + 1 = 0$

Passaggio 1.1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.1.5.1

Moltiplica $32$ per $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) - (- 48 \cos^{4} (x)) - (18 \cos^{2} (x)) + 1 = 0$

Passaggio 1.1.5.2

Moltiplica $- 48$ per $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - (18 \cos^{2} (x)) + 1 = 0$

Passaggio 1.1.5.3

Moltiplica $18$ per $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Passaggio 1.1.5.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Passaggio 1.2

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 1.2.1

Combina i termini opposti in $2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) + 1$ .

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Passaggio 1.2.1.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$2 \cos^{2} (x) + 0 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 1.2.1.2

Somma $2 \cos^{2} (x)$ e $0$ .

$2 \cos^{2} (x) - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $18 \cos^{2} (x)$ da $2 \cos^{2} (x)$ .

$- 16 \cos^{2} (x) - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) = 0$

Passaggio 2

Fattorizza $- 16 \cos^{2} (x) - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x)$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi $16 \cos^{2} (x)$ da $- 16 \cos^{2} (x) - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x)$ .

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $16 \cos^{2} (x)$ da $- 16 \cos^{2} (x)$ .

$16 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $16 \cos^{2} (x)$ da $- 32 \cos^{6} (x)$ .

$16 \cos^{2} (x) \cdot - 1 + 16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x)) + 48 \cos^{4} (x) = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $16 \cos^{2} (x)$ da $48 \cos^{4} (x)$ .

$16 \cos^{2} (x) \cdot - 1 + 16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x)) + 16 \cos^{2} (x) (3 \cos^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $16 \cos^{2} (x)$ da $16 \cos^{2} (x) \cdot - 1 + 16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x))$ .

$16 \cos^{2} (x) (- 1 - 2 \cos^{4} (x)) + 16 \cos^{2} (x) (3 \cos^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi $16 \cos^{2} (x)$ da $16 \cos^{2} (x) (- 1 - 2 \cos^{4} (x)) + 16 \cos^{2} (x) (3 \cos^{2} (x))$ .

$16 \cos^{2} (x) (- 1 - 2 \cos^{4} (x) + 3 \cos^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.2.1

Riordina i termini.

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + 3 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Passaggio 2.2.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 2 \cdot - 1 = 2$ e la cui somma è $b = 3$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $3$ da $3 \cos^{2} (x)$ .

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + 3 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi $3$ come $1$ più $2$ .

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + (1 + 2) \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + 1 \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.4

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $1$ .

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Passaggio 2.2.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.2.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$16 \cos^{2} (x) (\cos^{2} (x) (- 2 \cos^{2} (x) + 1) - (- 2 \cos^{2} (x) + 1)) = 0$

Passaggio 2.2.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 2 \cos^{2} (x) + 1$ .

$16 \cos^{2} (x) ((- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos^{2} (x) - 1)) = 0$

Passaggio 2.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$16 \cos^{2} (x) ((- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos^{2} (x) - 1^{2})) = 0$

Passaggio 2.4

Scomponi.

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Passaggio 2.4.1

Scomponi.

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Passaggio 2.4.1.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \cos (x)$ e $b = 1$ .

$16 \cos^{2} (x) ((- 2 \cos^{2} (x) + 1) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1))) = 0$

Passaggio 2.4.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$16 \cos^{2} (x) ((- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Passaggio 2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

$- 2 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 4

Imposta $\cos^{2} (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $\cos^{2} (x)$ uguale a $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\cos^{2} (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\cos (x) = \pm 0$

Passaggio 4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 4.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 4.2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.6

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 4.2.6.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.6.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.2.6.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 4.2.6.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.6.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 4.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 4.2.7

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 4.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.2.8

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Imposta $- 2 \cos^{2} (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $- 2 \cos^{2} (x) + 1$ uguale a $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $- 2 \cos^{2} (x) + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \cos^{2} (x) = - 1$

Passaggio 5.2.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \cos^{2} (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \cos^{2} (x) = - 1$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Dividi $\cos^{2} (x)$ per $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{2}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 5.2.4.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 5.2.4.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 5.2.4.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 5.2.4.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 5.2.4.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 5.2.4.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.2.4.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 5.2.4.4.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.2.4.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.2.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.2.4.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.2.4.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 5.2.4.4.6.5

Calcola l'esponente.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.2.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.2.6

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.2.7

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 5.2.7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.2.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.7.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.7.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.7.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.4.2.1

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.7.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 5.2.7.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.4.3.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Passaggio 5.2.7.4.3.2

Sottrai $π$ da $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 5.2.7.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.7.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.7.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.7.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.7.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.2.8

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 5.2.8.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.2.1

Il valore esatto di $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ è $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 5.2.8.3

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Passaggio 5.2.8.4

Semplifica $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Passaggio 5.2.8.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.4.2.1

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Passaggio 5.2.8.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Passaggio 5.2.8.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.4.3.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Passaggio 5.2.8.4.3.2

Sottrai $3 π$ da $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 5.2.8.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.8.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.8.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.8.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.8.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.2.9

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.2.10

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Imposta $\cos (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $\cos (x) + 1$ uguale a $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $\cos (x) + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (x) = - 1$

Passaggio 6.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- 1)$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Il valore esatto di $\arccos (- 1)$ è $π$ .

$x = π$

Passaggio 6.2.4

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - π$

Passaggio 6.2.5

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = π$

Passaggio 6.2.6

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.2.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 6.2.7

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Imposta $\cos (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $\cos (x) - 1$ uguale a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $\cos (x) - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (x) = 1$

Passaggio 7.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (1)$

Passaggio 7.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Il valore esatto di $\arccos (1)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 7.2.4

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Passaggio 7.2.5

Sottrai $0$ da $2 π$ .

$x = 2 π$

Passaggio 7.2.6

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 7.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 7.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 7.2.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 7.2.7

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Consolida le risposte.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Combina $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ in $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9.2

Combina $π + 2 π n$ e $2 π n$ in $π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9.3

Combina $\frac{π}{2} + π n$ e $π n$ in $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9.4

Combina $\frac{π n}{2}$ e $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ in $\frac{π n}{4}$ .

$x = \frac{π n}{4}, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9.5

Combina $\frac{π n}{4}$ e $2 π + 2 π n$ in $\frac{π n}{4}$ .

$x = \frac{π n}{4}$ , per qualsiasi intero $n$