Trigonometria Esempi

$\cos (x) \csc (x) = 2 \cos (x)$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Semplifica $\cos (x) \csc (x)$ .

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} = 2 \cos (x)$

Passaggio 1.1.2

$\cos (x)$ e $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 2 \cos (x)$

Passaggio 2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (2 \cos (x))$

Passaggio 3

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

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Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (2 \cos (x))$

Passaggio 3.2

Riscrivi l'espressione.

$\cos (x) = \sin (x) (2 \cos (x))$

Passaggio 4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\cos (x) = 2 \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 5

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\cos (x) = \sin (2 x)$

Passaggio 6

Sottrai $\sin (2 x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (x) - \sin (2 x) = 0$

Passaggio 7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\cos (x) - (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 8

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 8.1

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{1} (x)$ .

$\cos (x) \cdot 1 - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 8.2

Scomponi $\cos (x)$ da $- 2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 2 \sin (x)) = 0$

Passaggio 8.3

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 2 \sin (x))$ .

$\cos (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0$

Passaggio 9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 10

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 10.1

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi $\cos (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 10.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 10.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 10.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 10.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 10.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 10.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 10.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 10.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 10.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 10.2.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 10.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 10.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 10.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 10.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 10.2.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 11

Imposta $1 - 2 \sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Imposta $1 - 2 \sin (x)$ uguale a $0$ .

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi $1 - 2 \sin (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 11.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Passaggio 11.2.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (x) = - 1$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 11.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 11.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 11.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 11.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 11.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 11.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 11.2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 11.2.6

Semplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Passaggio 11.2.6.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 11.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.6.2.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 11.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 11.2.6.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.2.6.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 11.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 11.2.7

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 11.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 11.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 11.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 11.2.8

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 12

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\cos (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13

Combina $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ in $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$