Trigonometria Esempi

$\sec^{2} (x) - \sec (x) - 2 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sia $u = \sec (x)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\sec (x)$ con $u$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi $u^{2} - u - 2$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 2, 1$

Passaggio 1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sec (x)$ .

$(\sec (x) - 2) (\sec (x) + 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sec (x) - 2 = 0$

$\sec (x) + 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta $\sec (x) - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $\sec (x) - 2$ uguale a $0$ .

$\sec (x) - 2 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $\sec (x) - 2 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\sec (x) = 2$

Passaggio 3.2.2

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dall'interno della secante.

$x = arcsec (2)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.3.1

Il valore esatto di $arcsec (2)$ è $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 3.2.4

La funzione secante è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 3.2.5

Semplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Passaggio 3.2.5.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 3.2.5.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.2.5.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 3.2.5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 3.2.5.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.5.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 3.2.5.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 3.2.6

Trova il periodo di $\sec (x)$ .

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Passaggio 3.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.2.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.2.7

Il periodo della funzione $\sec (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Imposta $\sec (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $\sec (x) + 1$ uguale a $0$ .

$\sec (x) + 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\sec (x) + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sec (x) = - 1$

Passaggio 4.2.2

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dall'interno della secante.

$x = arcsec (- 1)$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.3.1

Il valore esatto di $arcsec (- 1)$ è $π$ .

$x = π$

Passaggio 4.2.4

La funzione secante è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - π$

Passaggio 4.2.5

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = π$

Passaggio 4.2.6

Trova il periodo di $\sec (x)$ .

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Passaggio 4.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.2.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.2.7

Il periodo della funzione $\sec (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(\sec (x) - 2) (\sec (x) + 1) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$