Trigonometria Esempi

$\tan^{2} (2 x) - 3 = 0$

Passaggio 1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\tan^{2} (2 x) = 3$

Passaggio 2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\tan (2 x) = \pm \sqrt{3}$

Passaggio 3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\tan (2 x) = \sqrt{3}$

Passaggio 3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\tan (2 x) = - \sqrt{3}$

Passaggio 3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\tan (2 x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 4

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\tan (2 x) = \sqrt{3}$

$\tan (2 x) = - \sqrt{3}$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ in $\tan (2 x) = \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arctan (\sqrt{3})$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Il valore esatto di $\arctan (\sqrt{3})$ è $\frac{π}{3}$ .

$2 x = \frac{π}{3}$

Passaggio 5.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{3}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.3.2

Moltiplica $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 2}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 5.4

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$2 x = π + \frac{π}{3}$

Passaggio 5.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$2 x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Passaggio 5.5.1.2

$π$ e $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Passaggio 5.5.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Passaggio 5.5.1.4

Somma $π \cdot 3$ e $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.4.1

Riordina $π$ e $3$ .

$2 x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Passaggio 5.5.1.4.2

Somma $3 \cdot π$ e $π$ .

$2 x = \frac{4 \cdot π}{3}$

Passaggio 5.5.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{4 \cdot π}{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{4 \cdot π}{3}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{2}$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{2}$

Passaggio 5.5.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{2}$

Passaggio 5.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{4 \cdot π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 5.5.2.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $4 \cdot π$ .

$x = \frac{2 (2 \cdot π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 5.5.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 (2 \cdot π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 5.5.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{2 \cdot π}{3}$

$x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 5.6

Trova il periodo di $\tan (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 5.6.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 2 |}$

Passaggio 5.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{π}{2}$

Passaggio 5.7

Il periodo della funzione $\tan (2 x)$ è $\frac{π}{2}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{π}{2}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}, \frac{2 π}{3} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ in $\tan (2 x) = - \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arctan (- \sqrt{3})$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Il valore esatto di $\arctan (- \sqrt{3})$ è $- \frac{π}{3}$ .

$2 x = - \frac{π}{3}$

Passaggio 6.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - \frac{π}{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - \frac{π}{3}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{3}}{2}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{3}}{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{3}}{2}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3.3.2

Moltiplica $- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.3.3.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Passaggio 6.4

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$2 x = - \frac{π}{3} - π$

Passaggio 6.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{3} - π$ .

$2 x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Passaggio 6.5.2

L'angolo risultante di $\frac{2 π}{3}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{3} - π$ .

$2 x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 6.5.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{2 π}{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{2 π}{3}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Passaggio 6.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Passaggio 6.5.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Passaggio 6.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 6.5.3.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 6.5.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 6.5.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 6.6

Trova il periodo di $\tan (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 6.6.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 2 |}$

Passaggio 6.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{π}{2}$

Passaggio 6.7

Somma $\frac{π}{2}$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Somma $\frac{π}{2}$ a $- \frac{π}{6}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{6} + \frac{π}{2}$

Passaggio 6.7.2

Per scrivere $\frac{π}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

Passaggio 6.7.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.3.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{6}$

Passaggio 6.7.3.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 6.7.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 3 - π}{6}$

Passaggio 6.7.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.5.1

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 6.7.5.2

Sottrai $π$ da $3 π$ .

$\frac{2 π}{6}$

Passaggio 6.7.6

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.6.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{6}$

Passaggio 6.7.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.6.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.7.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.7.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π}{3}$

Passaggio 6.7.7

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 6.8

Il periodo della funzione $\tan (2 x)$ è $\frac{π}{2}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{π}{2}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}, \frac{2 π}{3} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Consolida le soluzioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Combina $\frac{π}{6} + \frac{π n}{2}$ e $\frac{2 π}{3} + \frac{π n}{2}$ in $\frac{π}{6} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8.2

Combina $\frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ e $\frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ in $\frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$