Trigonometria Esempi

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \cos (x)$ e $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Passaggio 3

Imposta $\cos (x) + \sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta $\cos (x) + \sin (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $\cos (x) + \sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 3.2.3

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 3.2.4

Frazioni separate.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 3.2.5

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 3.2.6

Dividi $0$ per $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Passaggio 3.2.8

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (x) = - 1$

Passaggio 3.2.9

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- 1)$

Passaggio 3.2.10

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.1

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 3.2.11

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Passaggio 3.2.12

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.12.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 3.2.12.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{4}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 3.2.13

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.13.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 3.2.13.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.13.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 3.2.13.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 3.2.14

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.14.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Passaggio 3.2.14.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 3.2.14.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.14.3.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 3.2.14.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 3.2.14.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.14.4.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 3.2.14.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Passaggio 3.2.14.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 3.2.15

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Imposta $\cos (x) - \sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $\cos (x) - \sin (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\cos (x) - \sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 4.2.3

Frazioni separate.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 4.2.4

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 4.2.5

Dividi $- 1$ per $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 4.2.6

Frazioni separate.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 4.2.7

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 4.2.8

Dividi $0$ per $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Passaggio 4.2.9

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Passaggio 4.2.10

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \tan (x) = - 1$

Passaggio 4.2.11

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.11.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.2.11.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.11.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.2.11.2.2

Dividi $\tan (x)$ per $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.2.11.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.11.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Passaggio 4.2.12

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (1)$

Passaggio 4.2.13

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.13.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2.14

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2.15

Semplifica $π + \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.15.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2.15.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.15.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2.15.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 4.2.15.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.15.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 4.2.15.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 4.2.16

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.16.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 4.2.16.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.16.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 4.2.16.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 4.2.17

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ vera.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$