Trigonometria Esempi

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} = 4$

Passaggio 1

Moltiplica ogni lato per $e^{x} - e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 4 (e^{x} - e^{- x})$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{x} - e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 4 (e^{x} - e^{- x})$

Passaggio 2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = 4 (e^{x} - e^{- x})$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica $4 (e^{x} - e^{- x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 = 4 e^{x} + 4 (- e^{- x})$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$1 = 4 e^{x} - 4 e^{- x}$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $4 e^{x} - 4 e^{- x} = 1$ .

$4 e^{x} - 4 e^{- x} = 1$

Passaggio 3.2

Riscrivi $e^{- x}$ come un elevamento a potenza.

$4 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{- 1} = 1$

Passaggio 3.3

Sostituisci $e^{x}$ per $u$ .

$4 u - 4 u^{- 1} = 1$

Passaggio 3.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 u - 4 \frac{1}{u} = 1$

Passaggio 3.4.2

$- 4$ e $\frac{1}{u}$ .

$4 u + \frac{- 4}{u} = 1$

Passaggio 3.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 u - \frac{4}{u} = 1$

Passaggio 3.5

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, u, 1$

Passaggio 3.5.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$u$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica per $u$ ciascun termine in $4 u - \frac{4}{u} = 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Moltiplica ogni termine in $4 u - \frac{4}{u} = 1$ per $u$ .

$4 u \cdot u - \frac{4}{u} u = 1 u$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1.1

Moltiplica $u$ per $u$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1.1.1

Sposta $u$ .

$4 (u \cdot u) - \frac{4}{u} u = 1 u$

Passaggio 3.5.2.2.1.1.2

Moltiplica $u$ per $u$ .

$4 u^{2} - \frac{4}{u} u = 1 u$

Passaggio 3.5.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{4}{u}$ nel numeratore.

$4 u^{2} + \frac{- 4}{u} u = 1 u$

Passaggio 3.5.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 u^{2} + \frac{- 4}{u} u = 1 u$

Passaggio 3.5.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 u^{2} - 4 = 1 u$

Passaggio 3.5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.5.2.3.1

Moltiplica $u$ per $1$ .

$4 u^{2} - 4 = u$

Passaggio 3.5.3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 3.5.3.1

Sottrai $u$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 u^{2} - 4 - u = 0$

Passaggio 3.5.3.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.5.3.3

Sostituisci i valori $a = 4$ , $b = - 1$ e $c = - 4$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 4)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.5.3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.5.3.4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.3.4.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.5.3.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 4 \cdot - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.5.3.4.1.2.2

Moltiplica $- 16$ per $- 4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 64}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.5.3.4.1.3

Somma $1$ e $64$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.5.3.4.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{8}$

Passaggio 3.5.3.5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}, \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

Passaggio 3.6

Sostituisci $\frac{1 + \sqrt{65}}{8}$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$\frac{1 + \sqrt{65}}{8} = e^{x}$

Passaggio 3.7

Risolvi $\frac{1 + \sqrt{65}}{8} = e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}$ .

$e^{x} = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}$

Passaggio 3.7.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Passaggio 3.7.3

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.7.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Passaggio 3.7.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Passaggio 3.7.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Passaggio 3.8

Sostituisci $\frac{1 - \sqrt{65}}{8}$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$\frac{1 - \sqrt{65}}{8} = e^{x}$

Passaggio 3.9

Risolvi $\frac{1 - \sqrt{65}}{8} = e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$ .

$e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

Passaggio 3.9.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 - \sqrt{65}}{8})$

Passaggio 3.9.3

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (\frac{1 - \sqrt{65}}{8})$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 3.9.4

Non c'è soluzione per $e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

Nessuna soluzione

Passaggio 3.10

Elenca le soluzioni che rendono vera l'equazione.

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

Forma decimale:

$x = 0.12467674 \dots$