Trigonometria Esempi

$3 \tan^{3} (x) + 3 \tan^{2} (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Passaggio 1

Fattorizza $3 \tan^{3} (x) + 3 \tan^{2} (x) - \tan (x) - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$3 \tan^{3} (x) + 3 \tan^{2} (x) - \tan (x) - 1 = 0$

Passaggio 1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$3 \tan^{2} (x) (\tan (x) + 1) - (\tan (x) + 1) = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $\tan (x) + 1$ .

$(\tan (x) + 1) (3 \tan^{2} (x) - 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

$3 \tan^{2} (x) - 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta $\tan (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta $\tan (x) + 1$ uguale a $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $\tan (x) + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (x) = - 1$

Passaggio 3.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- 1)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 3.2.4

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Passaggio 3.2.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 3.2.5.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{4}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 3.2.6

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 3.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 3.2.6.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 3.2.7

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Passaggio 3.2.7.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 3.2.7.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.3.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 3.2.7.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 3.2.7.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.4.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 3.2.7.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Passaggio 3.2.7.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 3.2.8

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Imposta $3 \tan^{2} (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $3 \tan^{2} (x) - 1$ uguale a $0$ .

$3 \tan^{2} (x) - 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $3 \tan^{2} (x) - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 \tan^{2} (x) = 1$

Passaggio 4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \tan^{2} (x) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \tan^{2} (x) = 1$ .

$\frac{3 \tan^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \tan^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 4.2.2.2.1.2

Dividi $\tan^{2} (x)$ per $1$ .

$\tan^{2} (x) = \frac{1}{3}$

Passaggio 4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{3}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.2.4.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.2.4.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.2.4.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 4.2.4.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 4.2.4.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 4.2.4.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 4.2.4.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.4.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.2.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.2.4.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.2.4.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 4.2.4.4.6.5

Calcola l'esponente.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.6

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.7

Risolvi per $x$ in $\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.2.1

Il valore esatto di $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ è $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 4.2.7.3

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{6}$

Passaggio 4.2.7.4

Semplifica $π + \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Passaggio 4.2.7.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.4.2.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Passaggio 4.2.7.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Passaggio 4.2.7.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.4.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Passaggio 4.2.7.4.3.2

Somma $6 π$ e $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 4.2.7.5

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 4.2.7.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.7.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 4.2.7.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 4.2.7.6

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.2.8

Risolvi per $x$ in $\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.8.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.2.1

Il valore esatto di $\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ è $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Passaggio 4.2.8.3

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - \frac{π}{6} - π$

Passaggio 4.2.8.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.4.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

Passaggio 4.2.8.4.2

L'angolo risultante di $\frac{5 π}{6}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 4.2.8.5

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 4.2.8.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.8.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 4.2.8.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 4.2.8.6

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.6.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{6}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{6} + π$

Passaggio 4.2.8.6.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 4.2.8.6.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.6.3.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 4.2.8.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 4.2.8.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.6.4.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 4.2.8.6.4.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Passaggio 4.2.8.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 4.2.8.7

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.2.9

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.2.10

Consolida le soluzioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.10.1

Combina $\frac{π}{6} + π n$ e $\frac{7 π}{6} + π n$ in $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.2.10.2

Combina $\frac{5 π}{6} + π n$ e $\frac{5 π}{6} + π n$ in $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(\tan (x) + 1) (3 \tan^{2} (x) - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , per qualsiasi intero $n$