Trigonometria Esempi

$1 - \frac{\sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)} = - \cos (x)$

Passaggio 1

Sostituisci $- \sin^{2} (x)$ con $- (1 - \cos^{2} (x))$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 - (1 - \cos^{2} (x)) = - \cos (x)$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 - 1 \cdot 1 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Passaggio 2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 - 1 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Passaggio 2.3

Moltiplica $- - \cos^{2} (x)$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 - 1 + 1 \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $1$ .

$1 - 1 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Passaggio 3

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 3.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$0 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Passaggio 3.2

Somma $0$ e $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) = - \cos (x)$

Passaggio 4

Sostituisci $\cos (x)$ per $u$ .

${(u)}^{2} = - (u)$

Passaggio 5

Somma $u$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} + u = 0$

Passaggio 6

Scomponi $u$ da $u^{2} + u$ .

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Passaggio 6.1

Scomponi $u$ da $u^{2}$ .

$u \cdot u + u = 0$

Passaggio 6.2

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$u \cdot u + u = 0$

Passaggio 6.3

Scomponi $u$ da $u^{1}$ .

$u \cdot u + u \cdot 1 = 0$

Passaggio 6.4

Scomponi $u$ da $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$u (u + 1) = 0$

Passaggio 7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u = 0$

$u + 1 = 0$

Passaggio 8

Imposta $u$ uguale a $0$ .

$u = 0$

Passaggio 9

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 9.1

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 9.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $u (u + 1) = 0$ vera.

$u = 0, - 1$

Passaggio 11

Sostituisci $u$ per $\cos (x)$ .

$\cos (x) = 0, - 1$

Passaggio 12

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) = - 1$

Passaggio 13

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = 0$ .

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Passaggio 13.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 13.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 13.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 13.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 13.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 13.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 13.4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 13.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 13.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 13.4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 13.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 13.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 13.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 13.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 13.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 13.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 13.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 13.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = - 1$ .

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Passaggio 14.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- 1)$

Passaggio 14.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 14.2.1

Il valore esatto di $\arccos (- 1)$ è $π$ .

$x = π$

Passaggio 14.3

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - π$

Passaggio 14.4

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = π$

Passaggio 14.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 14.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 14.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 14.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 14.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 14.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 15

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 16

Combina $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ in $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$