Trigonometria Esempi

\csc^{2} (x) - 2 = 0

$\csc^{2} (x) - 2 = 0$

Passaggio 1

Somma

2

$2$ a entrambi i lati dell'equazione.

\csc^{2} (x) = 2

$\csc^{2} (x) = 2$

Passaggio 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

\csc (x) = \pm \sqrt{2}

$\csc (x) = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di

\pm

$\pm$ per trovare la prima soluzione.

\csc (x) = \sqrt{2}

$\csc (x) = \sqrt{2}$

Passaggio 3.2

Ora, utilizza il valore negativo del

\pm

$\pm$ per trovare la seconda soluzione.

\csc (x) = - \sqrt{2}

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

Passaggio 3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}

$\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}

$\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 4

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per

x

$x$ .

\csc (x) = \sqrt{2}

$\csc (x) = \sqrt{2}$

\csc (x) = - \sqrt{2}

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

Passaggio 5

Risolvi per

x

$x$ in

\csc (x) = \sqrt{2}

$\csc (x) = \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre

x

$x$ dalla cosecante.

x = arccsc (\sqrt{2})

$x = arccsc (\sqrt{2})$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Il valore esatto di

arccsc (\sqrt{2})

$arccsc (\sqrt{2})$ è

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ .

x = \frac{π}{4}

$x = \frac{π}{4}$

x = \frac{π}{4}

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 5.3

La funzione della cosecante è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

π

$π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

x = π - \frac{π}{4}

$x = π - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.4

Semplifica

π - \frac{π}{4}

$π - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Per scrivere

π

$π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

π

$π$ e

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Sposta

4

$4$ alla sinistra di

π

$π$ .

x = \frac{4 \cdot π - π}{4}

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 5.4.3.2

Sottrai

π

$π$ da

4 π

$4 π$ .

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

x = \frac{3 π}{4}

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 5.5

Trova il periodo di

\csc (x)

$\csc (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.5.2

Sostituisci

b

$b$ con

1

$1$ nella formula per il periodo.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

0

$0$ e

1

$1$ è

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.5.4

Dividi

2 π

$2 π$ per

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Passaggio 5.6

Il periodo della funzione

\csc (x)

$\csc (x)$ è

2 π

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

2 π

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

Passaggio 6

Risolvi per

x

$x$ in

\csc (x) = - \sqrt{2}

$\csc (x) = - \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre

x

$x$ dalla cosecante.

x = arccsc (- \sqrt{2})

$x = arccsc (- \sqrt{2})$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Il valore esatto di

arccsc (- \sqrt{2})

$arccsc (- \sqrt{2})$ è

- \frac{π}{4}

$- \frac{π}{4}$ .

x = - \frac{π}{4}

$x = - \frac{π}{4}$

x = - \frac{π}{4}

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from

2 π

$2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to

π

$π$ to find the solution in the third quadrant.

x = 2 π + \frac{π}{4} + π

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Passaggio 6.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sottrai

2 π

$2 π$ da

2 π + \frac{π}{4} + π

$2 π + \frac{π}{4} + π$ .

x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Passaggio 6.4.2

L'angolo risultante di

\frac{5 π}{4}

$\frac{5 π}{4}$ è positivo, minore di

2 π

$2 π$ e coterminale con

2 π + \frac{π}{4} + π

$2 π + \frac{π}{4} + π$ .

x = \frac{5 π}{4}

$x = \frac{5 π}{4}$

x = \frac{5 π}{4}

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 6.5

Trova il periodo di

\csc (x)

$\csc (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.5.2

Sostituisci

b

$b$ con

1

$1$ nella formula per il periodo.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

0

$0$ e

1

$1$ è

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.5.4

Dividi

2 π

$2 π$ per

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Passaggio 6.6

Somma

2 π

$2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Somma

2 π

$2 π$ a

- \frac{π}{4}

$- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

- \frac{π}{4} + 2 π

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Passaggio 6.6.2

Per scrivere

2 π

$2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.6.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.3.1

2 π

$2 π$ e

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 6.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 6.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.4.1

Moltiplica

4

$4$ per

2

$2$ .

\frac{8 π - π}{4}

$\frac{8 π - π}{4}$

Passaggio 6.6.4.2

Sottrai

π

$π$ da

8 π

$8 π$ .

\frac{7 π}{4}

$\frac{7 π}{4}$

\frac{7 π}{4}

$\frac{7 π}{4}$

Passaggio 6.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

x = \frac{7 π}{4}

$x = \frac{7 π}{4}$

x = \frac{7 π}{4}

$x = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 6.7

Il periodo della funzione

\csc (x)

$\csc (x)$ è

2 π

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

2 π

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

Passaggio 7

Elenca tutte le soluzioni.

x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

Passaggio 8

Consolida le risposte.

x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero

n

$n$