Trigonometria Esempi

$\sin^{2} (x) = 7 (\cos (- x) - 1)$

Passaggio 1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica $7 (\cos (- x) - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Poiché $\cos (- x)$ è una funzione pari, riscrivi $\cos (- x)$ come $\cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) = 7 (\cos (x) - 1)$

Passaggio 1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sin^{2} (x) = 7 \cos (x) + 7 \cdot - 1$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$\sin^{2} (x) = 7 \cos (x) - 7$

Passaggio 2

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Sottrai $7 \cos (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin^{2} (x) - 7 \cos (x) = - 7$

Passaggio 2.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\sin^{2} (x) - 7 \cos (x) + 7 = 0$

Passaggio 3

Sostituisci $\sin^{2} (x)$ con $1 - \cos^{2} (x)$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) - 7 \cos (x) + 7 = 0$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Somma $1$ e $7$ .

$8 - \cos^{2} (x) - 7 \cos (x) = 0$

Passaggio 4.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 4.2.1

Riordina i termini.

$- \cos^{2} (x) - 7 \cos (x) + 8 = 0$

Passaggio 4.2.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ e la cui somma è $b = - 7$ .

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Passaggio 4.2.2.1

Scomponi $- 7$ da $- 7 \cos (x)$ .

$- \cos^{2} (x) - 7 \cos (x) + 8 = 0$

Passaggio 4.2.2.2

Riscrivi $- 7$ come $1$ più $- 8$ .

$- \cos^{2} (x) + (1 - 8) \cos (x) + 8 = 0$

Passaggio 4.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 8 \cos (x) + 8 = 0$

Passaggio 4.2.2.4

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) - 8 \cos (x) + 8 = 0$

Passaggio 4.2.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 4.2.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) - 8 \cos (x) + 8 = 0$

Passaggio 4.2.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\cos (x) (- \cos (x) + 1) + 8 (- \cos (x) + 1) = 0$

Passaggio 4.2.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- \cos (x) + 1$ .

$(- \cos (x) + 1) (\cos (x) + 8) = 0$

Passaggio 4.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) + 8 = 0$

Passaggio 4.4

Imposta $- \cos (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.4.1

Imposta $- \cos (x) + 1$ uguale a $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

Passaggio 4.4.2

Risolvi $- \cos (x) + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \cos (x) = - 1$

Passaggio 4.4.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (x) = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 4.4.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (x) = - 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.4.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.4.2.2.2.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

Passaggio 4.4.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (1)$

Passaggio 4.4.2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.4.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (1)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4.4.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Passaggio 4.4.2.6

Sottrai $0$ da $2 π$ .

$x = 2 π$

Passaggio 4.4.2.7

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 4.4.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.4.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.4.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.4.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.4.2.8

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.5

Imposta $\cos (x) + 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.5.1

Imposta $\cos (x) + 8$ uguale a $0$ .

$\cos (x) + 8 = 0$

Passaggio 4.5.2

Risolvi $\cos (x) + 8 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.5.2.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (x) = - 8$

Passaggio 4.5.2.2

L'intervallo del coseno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Dato che $- 8$ non rientra nell'intervallo, non c'è soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 4.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(- \cos (x) + 1) (\cos (x) + 8) = 0$ vera.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Consolida le risposte.

$x = 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$