Trigonometria Esempi

$\sin^{2} (x) = 6 (\cos (x) + 1)$

Passaggio 1

Sostituisci $\sin^{2} (x)$ con $1 - \cos^{2} (x)$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 - \cos^{2} (x) = 6 (\cos (x) + 1)$

Passaggio 2

Riordina il polinomio.

$- \cos^{2} (x) + 1 = 6 (\cos (x) + 1)$

Passaggio 3

Sostituisci $\cos (x)$ per $u$ .

$- {(u)}^{2} + 1 = 6 ((u) + 1)$

Passaggio 4

Semplifica $6 (u + 1)$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi.

$- u^{2} + 1 = 0 + 0 + 6 (u + 1)$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$- u^{2} + 1 = 6 (u + 1)$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$- u^{2} + 1 = 6 u + 6 \cdot 1$

Passaggio 4.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$- u^{2} + 1 = 6 u + 6$

Passaggio 5

Sottrai $6 u$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- u^{2} + 1 - 6 u = 6$

Passaggio 6

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- u^{2} + 1 - 6 u - 6 = 0$

Passaggio 7

Sottrai $6$ da $1$ .

$- u^{2} - 6 u - 5 = 0$

Passaggio 8

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 8.1

Scomponi $- 1$ da $- u^{2} - 6 u - 5$ .

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Passaggio 8.1.1

Scomponi $- 1$ da $- u^{2}$ .

$- u^{2} - 6 u - 5 = 0$

Passaggio 8.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 6 u$ .

$- u^{2} - (6 u) - 5 = 0$

Passaggio 8.1.3

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$- u^{2} - (6 u) - 1 \cdot 5 = 0$

Passaggio 8.1.4

Scomponi $- 1$ da $- u^{2} - (6 u)$ .

$- (u^{2} + 6 u) - 1 \cdot 5 = 0$

Passaggio 8.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (u^{2} + 6 u) - 1 (5)$ .

$- (u^{2} + 6 u + 5) = 0$

Passaggio 8.2

Scomponi.

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Passaggio 8.2.1

Scomponi $u^{2} + 6 u + 5$ usando il metodo AC.

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Passaggio 8.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $5$ e la cui somma è $6$ .

$1, 5$

Passaggio 8.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- ((u + 1) (u + 5)) = 0$

Passaggio 8.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (u + 1) (u + 5) = 0$

Passaggio 9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

$u + 5 = 0$

Passaggio 10

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 10.1

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 10.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 11

Imposta $u + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $u + 5$ uguale a $0$ .

$u + 5 = 0$

Passaggio 11.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 5$

Passaggio 12

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (u + 1) (u + 5) = 0$ vera.

$u = - 1, - 5$

Passaggio 13

Sostituisci $u$ per $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - 1, - 5$

Passaggio 14

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\cos (x) = - 1$

$\cos (x) = - 5$

Passaggio 15

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = - 1$ .

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Passaggio 15.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- 1)$

Passaggio 15.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 15.2.1

Il valore esatto di $\arccos (- 1)$ è $π$ .

$x = π$

Passaggio 15.3

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - π$

Passaggio 15.4

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = π$

Passaggio 15.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 15.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 15.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 15.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 15.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 15.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 16

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = - 5$ .

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Passaggio 16.1

L'intervallo del coseno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Dato che $- 5$ non rientra nell'intervallo, non c'è soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 17

Elenca tutte le soluzioni.

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$