Trigonometria Esempi

$(\cot (x) - 1) (\csc (x) + 1) = 0$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Espandi $(\cot (x) - 1) (\csc (x) + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\cot (x) (\csc (x) + 1) - 1 (\csc (x) + 1) = 0$

Passaggio 1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) \cdot 1 - 1 (\csc (x) + 1) = 0$

Passaggio 1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) \cdot 1 - 1 \csc (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Passaggio 1.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.1

Moltiplica $\cot (x)$ per $1$ .

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - 1 \csc (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $- 1 \csc (x)$ come $- \csc (x)$ .

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1 = 0$

Passaggio 2

Fattorizza $\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1$ .

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Passaggio 2.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\cot (x) (\csc (x) + 1) - (\csc (x) + 1) = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $\csc (x) + 1$ .

$(\csc (x) + 1) (\cot (x) - 1) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\csc (x) + 1 = 0$

$\cot (x) - 1 = 0$

Passaggio 4

Imposta $\csc (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $\csc (x) + 1$ uguale a $0$ .

$\csc (x) + 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\csc (x) + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\csc (x) = - 1$

Passaggio 4.2.2

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dalla cosecante.

$x = arccsc (- 1)$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.3.1

Il valore esatto di $arccsc (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.4

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 4.2.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 4.2.5.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 4.2.5.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 4.2.6

Trova il periodo di $\csc (x)$ .

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Passaggio 4.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.2.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.2.7

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 4.2.7.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{2}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Passaggio 4.2.7.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.7.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.2.7.3.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.7.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 4.2.7.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.7.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 4.2.7.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 4.2.7.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 4.2.8

Il periodo della funzione $\csc (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Imposta $\cot (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $\cot (x) - 1$ uguale a $0$ .

$\cot (x) - 1 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\cot (x) - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\cot (x) = 1$

Passaggio 5.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della cotangente presente nell'equazione assegnata.

$x = arccot (1)$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.3.1

Il valore esatto di $arccot (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.4

La funzione cotangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Passaggio 5.2.5.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.5.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 5.2.5.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 5.2.5.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.5.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 5.2.5.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 5.2.6

Trova il periodo di $\cot (x)$ .

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Passaggio 5.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 5.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 5.2.6.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 5.2.7

Il periodo della funzione $\cot (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(\csc (x) + 1) (\cot (x) - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Combina $\frac{π}{4} + π n$ e $\frac{5 π}{4} + π n$ in $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$