Trigonometria Esempi

$\csc (x) - \sin (x) = \cot (x) \cos (x)$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \cot (x) \cos (x)$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\cot (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 2.1.1

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

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Passaggio 2.1.2.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 2.1.2.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 2.1.2.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 2.1.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

Passaggio 2.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 4

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 5

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

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Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) (- \sin (x)) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \sin (x) (- \sin (x)) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 - \sin (x) \sin (x) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7

Moltiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 7.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$1 - (\sin^{1} (x) \sin (x)) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$1 - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 - {\sin (x)}^{1 + 1} = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 7.4

Somma $1$ e $1$ .

$1 - \sin^{2} (x) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 8

Applica l'identità pitagorica.

$\cos^{2} (x) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 9

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

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Passaggio 9.1

Elimina il fattore comune.

$\cos^{2} (x) = \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 9.2

Riscrivi l'espressione.

$\cos^{2} (x) = \cos^{2} (x)$

Passaggio 10

Poiché gli esponenti sono uguali, le basi degli esponenti su entrambi i lati dell'equazione devono essere uguali.

$| \cos (x) | = | \cos (x) |$

Passaggio 11

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Riscrivi l'equazione con valore assoluto come quattro equazioni senza le barre di valore assoluto

$\cos (x) = \cos (x)$

$\cos (x) = - \cos (x)$

$- \cos (x) = \cos (x)$

$- \cos (x) = - \cos (x)$

Passaggio 11.2

Dopo la semplificazione, ci sono solo due equazioni univoche da risolvere.

$\cos (x) = \cos (x)$

$\cos (x) = - \cos (x)$

Passaggio 11.3

Risolvi $\cos (x) = \cos (x)$ per $x$ .

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Passaggio 11.3.1

Perché le due funzioni siano uguali, gli argomenti di ciascuna devono essere uguali.

$x = x$

Passaggio 11.3.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 11.3.2.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x - x = 0$

Passaggio 11.3.2.2

Sottrai $x$ da $x$ .

$0 = 0$

Passaggio 11.3.3

Poiché $0 = 0$ , l'equazione sarà sempre vera.

Tutti i numeri reali

Passaggio 11.4

Risolvi $\cos (x) = - \cos (x)$ per $x$ .

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Passaggio 11.4.1

Sposta tutti i termini contenenti $\cos (x)$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 11.4.1.1

Somma $\cos (x)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (x) + \cos (x) = 0$

Passaggio 11.4.1.2

Somma $\cos (x)$ e $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) = 0$

Passaggio 11.4.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (x) = 0$ e semplifica.

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Passaggio 11.4.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (x) = 0$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 11.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 11.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 11.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 11.4.2.2.1.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{2}$

Passaggio 11.4.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 11.4.2.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 11.4.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 11.4.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 11.4.4.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 11.4.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 11.4.6

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 11.4.6.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 11.4.6.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 11.4.6.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 11.4.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 11.4.6.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.4.6.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 11.4.6.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 11.4.7

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 11.4.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 11.4.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 11.4.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 11.4.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 11.4.8

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 12

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$