Trigonometria Esempi

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Passaggio 1

Per scrivere $\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Passaggio 2

Per scrivere $- \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Passaggio 3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ per $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ per $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} - \frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.3

Riordina i fattori di $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x)) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1

Eleva $1 + \cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(1 + \cos (x))}^{1} (1 + \cos (x)) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 5.2

Eleva $1 + \cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(1 + \cos (x))}^{1} {(1 + \cos (x))}^{1} - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 5.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{(1 + \cos (x))}^{1 + 1} - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 5.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{{(1 + \cos (x))}^{2} - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 5.5

Riscrivi $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ come ${(1 - \cos (x))}^{2}$ .

$\frac{{(1 + \cos (x))}^{2} - {(1 - \cos (x))}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 5.6

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1 + \cos (x)$ e $b = 1 - \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x) + 1 - \cos (x)) (1 + \cos (x) - (1 - \cos (x)))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 5.7

Semplifica.

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Passaggio 5.7.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{(2 + \cos (x) - \cos (x)) (1 + \cos (x) - (1 - \cos (x)))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 5.7.2

Sottrai $\cos (x)$ da $\cos (x)$ .

$\frac{(2 + 0) (1 + \cos (x) - (1 - \cos (x)))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 5.7.3

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x) - (1 - \cos (x)))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 5.7.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (1 + \cos (x) - 1 \cdot 1 - - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 5.7.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x) - 1 - - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 5.7.6

Moltiplica $- - \cos (x)$ .

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Passaggio 5.7.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x) - 1 + 1 \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 5.7.6.2

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x) - 1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 5.7.7

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{2 (0 + \cos (x) + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 5.7.8

Somma $0$ e $\cos (x)$ .

$\frac{2 (\cos (x) + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 5.7.9

Somma $\cos (x)$ e $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cdot 2 \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 5.7.10

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$