Trigonometria Esempi

$\frac{\tan (112.5)}{1 - \tan^{2} (112.5)}$

Passaggio 1

Calcola $\tan (112.5)$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - \tan^{2} (112.5)}$

Passaggio 2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il valore esatto di $\tan (112.5)$ è $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Riscrivi $112.5$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - \tan^{2} (\frac{225}{2})}$

Passaggio 2.1.2

Applica la formula di bisezione per la tangente.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4

Semplifica $- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.2

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.3

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.3.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.7

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.8

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.10

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.11

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.11.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.11.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.12

Moltiplica $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ per $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.13

Moltiplica $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ per $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.14

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.15

Semplifica.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.16

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.17

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.17.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.17.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.18

$\sqrt{2}$ e $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.19

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.19.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.19.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.19.3

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.19.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.19.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.19.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.19.4.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.19.5

Elimina il fattore comune di $2 \sqrt{2} + 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.19.5.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.19.5.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.19.5.3

Scomponi $2$ da $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.19.5.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.19.5.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.19.5.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.19.5.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.19.5.4.4

Dividi $\sqrt{2} + 1$ per $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.20

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.21

Somma $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2})}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sposta ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica ${(- 1)}^{2}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Passaggio 2.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Passaggio 2.5

Riscrivi ${\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}$ come $3 + 2 \sqrt{2}$ .

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Passaggio 2.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ come ${(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {({(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{1}}$

Passaggio 2.5.5

Semplifica.

$\frac{- 2.41421356}{1 - (3 + 2 \sqrt{2})}$

Passaggio 2.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2.41421356}{1 - 1 \cdot 3 - (2 \sqrt{2})}$

Passaggio 2.7

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - 3 - (2 \sqrt{2})}$

Passaggio 2.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2.41421356}{1 - 3 - 2 \sqrt{2}}$

Passaggio 2.9

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{- 2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

Passaggio 3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

Passaggio 4

Moltiplica $\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$ per $\frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}}$ .

$- (\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}})$

Passaggio 5

Moltiplica $\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$ per $\frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}}$ .

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{(- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2})}$

Passaggio 6

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{4 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica.

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 4}$

Passaggio 8

Elimina il fattore comune di $- 2 + 2 \sqrt{2}$ e $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi $2$ da $2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})$ .

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{- 4}$

Passaggio 8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 8.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 2}$

Passaggio 9

Elimina il fattore comune di $- 2 + 2 \sqrt{2}$ e $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Scomponi $2$ da $1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2})$ .

$- \frac{2 (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{- 2}$

Passaggio 9.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2})))$

Passaggio 10

Riscrivi $- 1 \cdot (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$ come $- (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$ .

$- - (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$

Passaggio 11

Moltiplica $0.60355339$ per $- 2 + 2 \sqrt{2}$ .

$- (- 1 \cdot 0.5)$

Passaggio 12

Moltiplica $- (- 1 \cdot 0.5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Moltiplica $- 1$ per $0.5$ .

$- - 0.5$

Passaggio 12.2

Moltiplica $- 1$ per $- 0.5$ .

$0.5$