Trigonometria Esempi

$\sin^{2} (4 x) - 1 = 0$

Passaggio 1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\sin^{2} (4 x) = 1$

Passaggio 2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sin (4 x) = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\sin (4 x) = \pm 1$

Passaggio 4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\sin (4 x) = 1$

Passaggio 4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\sin (4 x) = - 1$

Passaggio 4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\sin (4 x) = 1, - 1$

Passaggio 5

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (4 x) = 1$

$\sin (4 x) = - 1$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ in $\sin (4 x) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$4 x = \arcsin (1)$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (1)$ è $\frac{π}{2}$ .

$4 x = \frac{π}{2}$

Passaggio 6.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = \frac{π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = \frac{π}{2}$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 6.3.3.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.3.3.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$x = \frac{π}{8}$

Passaggio 6.4

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$4 x = π - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.5.1.2

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.5.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 6.5.1.4

Sottrai $π$ da $π \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.4.1

Riordina $π$ e $2$ .

$4 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Passaggio 6.5.1.4.2

Sottrai $π$ da $2 \cdot π$ .

$4 x = \frac{π}{2}$

Passaggio 6.5.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = \frac{π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = \frac{π}{2}$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Passaggio 6.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Passaggio 6.5.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Passaggio 6.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 6.5.2.3.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 4}$

Passaggio 6.5.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$x = \frac{π}{8}$

Passaggio 6.6

Trova il periodo di $\sin (4 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.6.2

Sostituisci $b$ con $4$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Passaggio 6.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $4$ è $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Passaggio 6.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.4.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Passaggio 6.6.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.6.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.6.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π}{2}$

Passaggio 6.7

Il periodo della funzione $\sin (4 x)$ è $\frac{π}{2}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{π}{2}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Risolvi per $x$ in $\sin (4 x) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$4 x = \arcsin (- 1)$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$4 x = - \frac{π}{2}$

Passaggio 7.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - \frac{π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - \frac{π}{2}$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

Passaggio 7.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

Passaggio 7.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

Passaggio 7.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 7.3.3.2

Moltiplica $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{4 \cdot 2}$

Passaggio 7.3.3.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = - \frac{π}{8}$

Passaggio 7.4

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$4 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 7.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$4 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 7.5.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$4 x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 7.5.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = \frac{3 π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = \frac{3 π}{2}$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

Passaggio 7.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

Passaggio 7.5.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

Passaggio 7.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 7.5.3.3.2

Moltiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{3 π}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 4}$

Passaggio 7.5.3.3.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Passaggio 7.6

Trova il periodo di $\sin (4 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 7.6.2

Sostituisci $b$ con $4$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Passaggio 7.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $4$ è $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Passaggio 7.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.4.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Passaggio 7.6.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.6.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.6.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π}{2}$

Passaggio 7.7

Somma $\frac{π}{2}$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1

Somma $\frac{π}{2}$ a $- \frac{π}{8}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{8} + \frac{π}{2}$

Passaggio 7.7.2

Per scrivere $\frac{π}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{8}$

Passaggio 7.7.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.3.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π}{8}$

Passaggio 7.7.3.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{π \cdot 4}{8} - \frac{π}{8}$

Passaggio 7.7.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 4 - π}{8}$

Passaggio 7.7.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.5.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{8}$

Passaggio 7.7.5.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{8}$

Passaggio 7.7.6

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{8}$

Passaggio 7.8

Il periodo della funzione $\sin (4 x)$ è $\frac{π}{2}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{π}{2}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{4}$ , per qualsiasi intero $n$