Trigonometria Esempi

$\sin (2 x) + \cos (2 x) = 1$

Passaggio 1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (2 x) + \cos (2 x) - 1 = 0$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$2 \sin (x) \cos (x) + \cos (2 x) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.2

Utilizza l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.2

Combina i termini opposti in $2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 1$ .

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Passaggio 2.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 0 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.2

Somma $2 \sin (x) \cos (x)$ e $0$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 3

Scomponi $2 \sin (x)$ da $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x)$ .

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Passaggio 3.1

Scomponi $2 \sin (x)$ da $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $2 \sin (x)$ da $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- \sin (x))$ .

$2 \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Passaggio 5

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 5.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 5.2.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 5.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Imposta $\cos (x) - \sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $\cos (x) - \sin (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $\cos (x) - \sin (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 6.2.1

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 6.2.2

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 6.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 6.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 6.2.3

Frazioni separate.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 6.2.4

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 6.2.5

Dividi $- 1$ per $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 6.2.6

Frazioni separate.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 6.2.7

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 6.2.8

Dividi $0$ per $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Passaggio 6.2.9

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Passaggio 6.2.10

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \tan (x) = - 1$

Passaggio 6.2.11

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 6.2.11.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 6.2.11.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.11.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 6.2.11.2.2

Dividi $\tan (x)$ per $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 6.2.11.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.2.11.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Passaggio 6.2.12

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (1)$

Passaggio 6.2.13

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.2.13.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.14

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.15

Semplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Passaggio 6.2.15.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.15.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 6.2.15.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.15.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 6.2.15.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.2.15.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 6.2.15.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 6.2.16

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 6.2.16.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 6.2.16.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 6.2.16.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 6.2.16.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 6.2.17

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ vera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Consolida le risposte.

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Passaggio 8.1

Combina $2 π n$ e $π + 2 π n$ in $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8.2

Combina $\frac{π}{4} + π n$ e $\frac{5 π}{4} + π n$ in $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$