Trigonometria Esempi

$\cos (105) \sin (75)$

Passaggio 1

Il valore esatto di $\cos (105)$ è $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Passaggio 1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- \cos (75) \sin (75)$

Passaggio 1.2

Dividi $75$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$- \cos (30 + 45) \sin (75)$

Passaggio 1.3

Applica le formule di addizione degli angoli $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$- (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \sin (75)$

Passaggio 1.4

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) \sin (75)$

Passaggio 1.5

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) \sin (75)$

Passaggio 1.6

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45)) \sin (75)$

Passaggio 1.7

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Passaggio 1.8

Semplifica $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Passaggio 1.8.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.8.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 1.8.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Passaggio 1.8.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$- (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Passaggio 1.8.1.1.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Passaggio 1.8.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Passaggio 1.8.1.2

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 1.8.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (75)$

Passaggio 1.8.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (75)$

Passaggio 1.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (75)$

Passaggio 2

Il valore esatto di $\sin (75)$ è $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Passaggio 2.1

Dividi $75$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (30 + 45)$

Passaggio 2.2

Applica le formule di addizione degli angoli.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45))$

Passaggio 2.3

Il valore esatto di $\sin (30)$ è $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45))$

Passaggio 2.4

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45))$

Passaggio 2.5

Il valore esatto di $\cos (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45))$

Passaggio 2.6

Il valore esatto di $\sin (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 2.7

Semplifica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 2.7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.7.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 2.7.1.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 2.7.1.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 2.7.1.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 2.7.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Passaggio 2.7.1.2.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})$

Passaggio 2.7.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})$

Passaggio 2.7.1.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

Passaggio 2.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Passaggio 3

Moltiplica $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ per $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$- \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$- \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1

Espandi $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + \sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$- \frac{\sqrt{12} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.2.1.3

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 4.2.1.3.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$- \frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.2.1.3.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.2.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$- \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.2.1.5

Moltiplica $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Passaggio 4.2.1.5.1

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.2.1.5.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.2.1.5.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{1 + 1} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.2.1.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.2.1.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 4.2.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.2.1.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.2.1.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.2.1.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.2.1.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{1} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.2.1.6.5

Calcola l'esponente.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2 + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.2.1.8

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.2.1.9

Moltiplica $6$ per $6$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.2.1.10

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.2.1.11

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.2.1.12

Moltiplica $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

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Passaggio 4.2.1.12.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{6 \cdot 2}}{16}$

Passaggio 4.2.1.12.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{12}}{16}$

Passaggio 4.2.1.13

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 4.2.1.13.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{4 (3)}}{16}$

Passaggio 4.2.1.13.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{16}$

Passaggio 4.2.1.14

Estrai i termini dal radicale.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - (2 \sqrt{3})}{16}$

Passaggio 4.2.1.15

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - 2 \sqrt{3}}{16}$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $2 \sqrt{3}$ da $2 \sqrt{3}$ .

$- \frac{0 - 2 + 6}{16}$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $2$ da $0$ .

$- \frac{- 2 + 6}{16}$

Passaggio 4.2.4

Somma $- 2$ e $6$ .

$- \frac{4}{16}$

Passaggio 5

Elimina il fattore comune di $4$ e $16$ .

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Passaggio 5.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$- \frac{4 (1)}{16}$

Passaggio 5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Passaggio 5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{4}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{4}$

Forma decimale:

$- 0.25$