Trigonometria Esempi

$\cos (\frac{π}{24})$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{π}{24}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$\cos (\frac{\frac{π}{12}}{2})$

Passaggio 2

Applica l'identità a mezzo angolo per il coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{12})}{2}}$

Passaggio 3

Cambia $\pm$ in $+$ poiché il coseno è positivo nel primo quadrante.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{12})}{2}}$

Passaggio 4

Trova il valore esatto di $\cos (\frac{π}{12})$ usando le identità della somma e della differenza.

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Passaggio 4.1

Dividi $\frac{π}{12}$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})}{2}}$

Passaggio 4.2

Applica le formule di sottrazione degli angoli $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})}{2}}$

Passaggio 4.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})}{2}}$

Passaggio 4.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})}{2}}$

Passaggio 4.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})}{2}}$

Passaggio 4.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{2}}$

Passaggio 4.7

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 4.7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.7.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Passaggio 4.7.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{2}}$

Passaggio 4.7.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{2}}$

Passaggio 4.7.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{2}}$

Passaggio 4.7.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{2}}$

Passaggio 4.7.1.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 4.7.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{2}}$

Passaggio 4.7.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}}{2}}$

Passaggio 4.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}}$

Passaggio 5

Semplifica $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}}$ .

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Passaggio 5.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{\frac{4}{4} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}}$

Passaggio 5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}}$

Passaggio 5.4

Moltiplica $\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 5.4.1

Moltiplica $\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 \cdot 2}}$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}}$

Passaggio 5.5

Riscrivi $\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}}$ come $\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$

Passaggio 5.6

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.6.1

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

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Passaggio 5.6.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{4 (2)}}$

Passaggio 5.6.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.6.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 5.7

Moltiplica $\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 5.8

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.8.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 5.8.2

Sposta $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Passaggio 5.8.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Passaggio 5.8.4

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Passaggio 5.8.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.8.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 5.8.7

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 5.8.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.8.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.8.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.8.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.8.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.8.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Passaggio 5.8.7.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.9

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.10

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$

Forma decimale:

$0.99144486 \dots$