Trigonometria Esempi

$\cos (67.5) \cos (22.5)$

Passaggio 1

Il valore esatto di $\cos (67.5)$ è $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Passaggio 1.1

Riscrivi $67.5$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$\cos (\frac{135}{2}) \cos (22.5)$

Passaggio 1.2

Applica l'identità a mezzo angolo per il coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}) \cos (22.5)$

Passaggio 1.3

Cambia $\pm$ in $+$ poiché il coseno è positivo nel primo quadrante.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}} \cos (22.5)$

Passaggio 1.4

Semplifica $\sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}$ .

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Passaggio 1.4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}} \cos (22.5)$

Passaggio 1.4.2

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Passaggio 1.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Passaggio 1.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5)$

Passaggio 1.4.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (22.5)$

Passaggio 1.4.6

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.4.6.1

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \cos (22.5)$

Passaggio 1.4.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \cos (22.5)$

Passaggio 1.4.7

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \cos (22.5)$

Passaggio 1.4.8

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.4.8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (22.5)$

Passaggio 1.4.8.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cos (22.5)$

Passaggio 2

Il valore esatto di $\cos (22.5)$ è $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi $22.5$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{45}{2})$

Passaggio 2.2

Applica l'identità a mezzo angolo per il coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})$

Passaggio 2.3

Cambia $\pm$ in $+$ poiché il coseno è positivo nel primo quadrante.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}$

Passaggio 2.4

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Passaggio 2.5

Semplifica $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Passaggio 2.5.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Passaggio 2.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 2.5.4.1

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.5.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Passaggio 2.5.5

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 2.5.6

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.5.6.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 2.5.6.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3

Espandi $(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2}) - \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 2 - \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 2 - \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.1.3

Moltiplica $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Passaggio 3.4.1.3.1

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.1.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.1.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.1.4

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 3.4.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.1.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.4.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2^{1}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.1.4.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $2$ da $4$ .

$\frac{\sqrt{2 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.3

Sottrai $2 \sqrt{2}$ da $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + 0}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.4

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

Forma decimale:

$0.35355339 \dots$