Trigonometria Esempi

$\sin (\frac{π}{12}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{12})$ è $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi $\frac{π}{12}$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.2

Applica le formule di sottrazione degli angoli.

$(\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.7

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.7.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.7.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.7.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.7.1.2

Moltiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.7.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 1.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{7 π}{12})$

Passaggio 2

Il valore esatto di $\cos (\frac{7 π}{12})$ è $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi $\frac{7 π}{12}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

Passaggio 2.2

Applica l'identità a mezzo angolo per il coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}})$

Passaggio 2.3

Cambia $\pm$ in $-$ , poiché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}})$

Passaggio 2.4

Semplifica $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}})$

Passaggio 2.4.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}})$

Passaggio 2.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}})$

Passaggio 2.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}})$

Passaggio 2.4.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Passaggio 2.4.6

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}})$

Passaggio 2.4.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}})$

Passaggio 2.4.7

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}})$

Passaggio 2.4.8

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}})$

Passaggio 2.4.8.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ per $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

$- \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$- \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{8}$

Passaggio 4

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{\sqrt{6} \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{8}$

Passaggio 5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$- \frac{\sqrt{6 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{2} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{8}$

Passaggio 6

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$- \frac{\sqrt{6 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 - \sqrt{3}) \cdot 2}}{8}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{\sqrt{6 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{(2 - \sqrt{3}) \cdot 2}}{8}$

Forma decimale:

$- 0.06698729 \dots$