Trigonometria Esempi

$\sin (\arcsin (x) + \arccos (y))$

Passaggio 1

Applica le formule di addizione degli angoli.

$\sin (\arcsin (x)) \cos (\arccos (y)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (y))$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1

Le funzioni di seno e arcoseno sono inverse.

$x \cos (\arccos (y)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (y))$

Passaggio 2.2

Le funzioni di coseno e arcocoseno sono inverse.

$x y + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (y))$

Passaggio 2.3

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ e l'origine. Poi $\arcsin (x)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . Perciò, $\cos (\arcsin (x))$ è $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x y + \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arccos (y))$

Passaggio 2.4

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x y + \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arccos (y))$

Passaggio 2.5

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arccos (y))$

Passaggio 2.6

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(y, \sqrt{1^{2} - y^{2}})$ , $(y, 0)$ e l'origine. Poi $\arccos (y)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(y, \sqrt{1^{2} - y^{2}})$ . Perciò, $\sin (\arccos (y))$ è $\sqrt{1 - y^{2}}$ .

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 - y^{2}}$

Passaggio 2.7

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1^{2} - y^{2}}$

Passaggio 2.8

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = y$ .

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

Passaggio 2.9

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x) (1 + y) (1 - y)}$