Trigonometria Esempi

$\sin (2 \arctan (x))$

Passaggio 1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$2 \sin (\arctan (x)) \cos (\arctan (x))$

Passaggio 2

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, x)$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $\arctan (x)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, x)$ . Perciò, $\sin (\arctan (x))$ è $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$2 \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cos (\arctan (x))$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$2 (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}) \cos (\arctan (x))$

Passaggio 4

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} \cos (\arctan (x))$

Passaggio 4.2

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} \cos (\arctan (x))$

Passaggio 4.3

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} \cos (\arctan (x))$

Passaggio 4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} \cos (\arctan (x))$

Passaggio 4.5

Somma $1$ e $1$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} \cos (\arctan (x))$

Passaggio 4.6

Riscrivi ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ come $1 + x^{2}$ .

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Passaggio 4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + x^{2}}$ come ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cos (\arctan (x))$

Passaggio 4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cos (\arctan (x))$

Passaggio 4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\arctan (x))$

Passaggio 4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\arctan (x))$

Passaggio 4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} \cos (\arctan (x))$

Passaggio 4.6.5

Semplifica.

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cos (\arctan (x))$

Passaggio 5

$2$ e $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{2 (x \sqrt{1 + x^{2}})}{1 + x^{2}} \cos (\arctan (x))$

Passaggio 6

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, x)$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $\arctan (x)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, x)$ . Perciò, $\cos (\arctan (x))$ è $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 7

Elimina il fattore comune di $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $\sqrt{1 + x^{2}}$ da $2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (2 x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (2 x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x}{1 + x^{2}}$