Trigonometria Esempi

$\cos (2 \arccos (x))$

Passaggio 1

Utilizza l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (\arccos (x)) - \sin^{2} (\arccos (x))$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1

Le funzioni di coseno e arcocoseno sono inverse.

$x^{2} - \sin^{2} (\arccos (x))$

Passaggio 2.2

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ e l'origine. Poi $\arccos (x)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Perciò, $\sin (\arccos (x))$ è $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x^{2} - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}$

Passaggio 2.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x^{2} - {\sqrt{1^{2} - x^{2}}}^{2}$

Passaggio 2.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$x^{2} - {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Passaggio 2.5

Riscrivi ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ come $(1 + x) (1 - x)$ .

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Passaggio 2.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ come ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} - {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 2.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 2.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

Passaggio 2.5.5

Semplifica.

$x^{2} - ((1 + x) (1 - x))$

Passaggio 2.6

Espandi $(1 + x) (1 - x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - (1 (1 - x) + x (1 - x))$

Passaggio 2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))$

Passaggio 2.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

Passaggio 2.7

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.7.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$x^{2} - (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

Passaggio 2.7.1.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$x^{2} - (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))$

Passaggio 2.7.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x^{2} - (1 - x + x + x (- x))$

Passaggio 2.7.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} - (1 - x + x - x \cdot x)$

Passaggio 2.7.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.7.1.5.1

Sposta $x$ .

$x^{2} - (1 - x + x - (x \cdot x))$

Passaggio 2.7.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} - (1 - x + x - x^{2})$

Passaggio 2.7.2

Somma $- x$ e $x$ .

$x^{2} - (1 + 0 - x^{2})$

Passaggio 2.7.3

Somma $1$ e $0$ .

$x^{2} - (1 - x^{2})$

Passaggio 2.8

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 1 \cdot 1 - - x^{2}$

Passaggio 2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x^{2} - 1 - - x^{2}$

Passaggio 2.10

Moltiplica $- - x^{2}$ .

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Passaggio 2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x^{2} - 1 + 1 x^{2}$

Passaggio 2.10.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} - 1 + x^{2}$

Passaggio 3

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 1$