Trigonometria Esempi

$\sin^{2} (\frac{π}{12})$

Passaggio 1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{12})$ è $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Passaggio 1.1

Dividi $\frac{π}{12}$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\sin^{2} (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Passaggio 1.2

Applica le formule di sottrazione degli angoli.

${(\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Passaggio 1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Passaggio 1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Passaggio 1.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Passaggio 1.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 1.7

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.7.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Passaggio 1.7.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 1.7.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

${(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 1.7.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 1.7.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 1.7.1.2

Moltiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.7.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}^{2}$

Passaggio 1.7.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})}^{2}$

Passaggio 1.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})}^{2}$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{4^{2}}$

Passaggio 2.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{16}$

Passaggio 2.3

Riscrivi ${(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}$ come $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 3

Espandi $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $6$ per $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.1.3

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

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Passaggio 4.1.5.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.1.5.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{6 - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.1.6

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 4.1.6.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{6 - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.1.6.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{6 - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.1.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.1.9

Moltiplica $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

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Passaggio 4.1.9.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.1.9.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.1.10

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 4.1.10.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.1.10.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.1.11

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.1.12

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Passaggio 4.1.13

Moltiplica $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Passaggio 4.1.13.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Passaggio 4.1.13.2

Moltiplica $\sqrt{2}$ per $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Passaggio 4.1.13.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{16}$

Passaggio 4.1.13.4

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{16}$

Passaggio 4.1.13.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{16}$

Passaggio 4.1.13.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{2}}{16}$

Passaggio 4.1.14

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 4.1.14.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16}$

Passaggio 4.1.14.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16}$

Passaggio 4.1.14.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Passaggio 4.1.14.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.1.14.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Passaggio 4.1.14.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{1}}{16}$

Passaggio 4.1.14.5

Calcola l'esponente.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2}{16}$

Passaggio 4.2

Somma $6$ e $2$ .

$\frac{8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{16}$

Passaggio 4.3

Sottrai $2 \sqrt{3}$ da $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 - 4 \sqrt{3}}{16}$

Passaggio 5

Elimina il fattore comune di $8 - 4 \sqrt{3}$ e $16$ .

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Passaggio 5.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{4 (2) - 4 \sqrt{3}}{16}$

Passaggio 5.2

Scomponi $4$ da $- 4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 (2) + 4 (- \sqrt{3})}{16}$

Passaggio 5.3

Scomponi $4$ da $4 (2) + 4 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{4 (2 - \sqrt{3})}{16}$

Passaggio 5.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$\frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Passaggio 5.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Passaggio 5.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

Forma decimale:

$0.06698729 \dots$