Trigonometria Esempi

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1} + \frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)} = 0$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1} + \frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)}$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)}$

Passaggio 2.2

Per scrivere $\frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(\cos (x) + 1) \sin (x)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1}$ per $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(\cos (x) + 1) \sin (x)} + \frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)}$ per $\frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(\cos (x) + 1) \sin (x)} + \frac{(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $(\cos (x) + 1) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)} + \frac{(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + (\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.1

Moltiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 2.5.1.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + (\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Passaggio 2.5.1.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + (\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Passaggio 2.5.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + (\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Passaggio 2.5.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + (\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Passaggio 2.5.2

Espandi $(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) (\cos (x) + 1) - 1 (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Passaggio 2.5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 - 1 (\cos (x) + 1)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Passaggio 2.5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Passaggio 2.5.3

Combina i termini opposti in $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1$ .

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Passaggio 2.5.3.1

Riordina i fattori nei termini di $\cos (x) \cdot 1$ e $- 1 \cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + 1 \cos (x) - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Passaggio 2.5.3.2

Sottrai $1 \cos (x)$ da $1 \cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + 0 - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Passaggio 2.5.3.3

Somma $\cos (x) \cos (x)$ e $0$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.5.4.1

Moltiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 2.5.4.1.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Passaggio 2.5.4.1.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Passaggio 2.5.4.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Passaggio 2.5.4.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Passaggio 2.5.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 1}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Passaggio 2.5.5

Riordina $\cos^{2} (x)$ e $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Passaggio 2.5.6

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Passaggio 2.5.7

Scomponi $- 1$ da $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Passaggio 2.5.8

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Passaggio 2.5.9

Riscrivi $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ come $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Passaggio 2.5.10

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Passaggio 2.5.11

Sottrai $\sin^{2} (x)$ da $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{0}{\sin (x) (\cos (x) + 1)}$

Passaggio 2.6

Dividi $0$ per $\sin (x) (\cos (x) + 1)$ .

$0$

Passaggio 3

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) + 1} + \frac{\cos (x) - 1}{\sin (x)} = 0$ è un'identità