Trigonometria Esempi

$\sin^{3} (t) + \cos^{3} (t) + \sin (t) \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) \cos (t) = \sin (t) + \cos (t)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\sin^{3} (t) + \cos^{3} (t) + \sin (t) \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) \cos (t)$

Passaggio 2

Scomponi.

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Passaggio 2.1

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = \sin (t)$ e $b = \cos (t)$ .

$(\sin (t) + \cos (t)) (\sin^{2} (t) - \sin (t) \cos (t) + \cos^{2} (t)) + \sin (t) \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) \cos (t)$

Passaggio 2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Rimetti in ordine i termini.

$(\sin (t) + \cos (t)) (- \sin (t) \cos (t) + \sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)) + \sin (t) \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) \cos (t)$

Passaggio 2.2.2

Applica l'identità pitagorica.

$(\sin (t) + \cos (t)) (- \sin (t) \cos (t) + 1) + \sin (t) \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) \cos (t)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Espandi $(\sin (t) + \cos (t)) (- \sin (t) \cos (t) + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (t) (- \sin (t) \cos (t) + 1) + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t) + 1) + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

Passaggio 3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t) + 1) + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

Passaggio 3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

Passaggio 3.1.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.2.1

Moltiplica $\sin (t) (- \sin (t) \cos (t))$ .

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Passaggio 3.1.2.1.1

Eleva $\sin (t)$ alla potenza di $1$ .

$- ({\sin (t)}^{1} \sin (t)) \cos (t) + \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

Passaggio 3.1.2.1.2

Eleva $\sin (t)$ alla potenza di $1$ .

$- ({\sin (t)}^{1} {\sin (t)}^{1}) \cos (t) + \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

Passaggio 3.1.2.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- {\sin (t)}^{1 + 1} \cos (t) + \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

Passaggio 3.1.2.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica $\sin (t)$ per $1$ .

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) + \cos (t) (- \sin (t) \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

Passaggio 3.1.2.3

Moltiplica $\cos (t) (- \sin (t) \cos (t))$ .

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Passaggio 3.1.2.3.1

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) - \sin (t) ({\cos (t)}^{1} \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

Passaggio 3.1.2.3.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) - \sin (t) ({\cos (t)}^{1} {\cos (t)}^{1}) + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

Passaggio 3.1.2.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) - \sin (t) {\cos (t)}^{1 + 1} + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

Passaggio 3.1.2.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) - \sin (t) {\cos (t)}^{2} + \cos (t) \cdot 1 + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

Passaggio 3.1.2.4

Moltiplica $\cos (t)$ per $1$ .

$- {\sin (t)}^{2} \cos (t) + \sin (t) - \sin (t) {\cos (t)}^{2} + \cos (t) + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + {\sin (t)}^{2} \cos (t)$

Passaggio 3.2

Somma $- {\sin (t)}^{2} \cos (t)$ e ${\sin (t)}^{2} \cos (t)$ .

$\sin (t) - \sin (t) {\cos (t)}^{2} + \cos (t) + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + 0$

Passaggio 3.3

Somma $\sin (t)$ e $0$ .

$- \sin (t) {\cos (t)}^{2} + \cos (t) + \sin (t) {\cos (t)}^{2} + \sin (t)$

Passaggio 3.4

Somma $- \sin (t) {\cos (t)}^{2}$ e $\sin (t) {\cos (t)}^{2}$ .

$0 + \cos (t) + \sin (t)$

Passaggio 3.5

Somma $0$ e $\cos (t)$ .

$\cos (t) + \sin (t)$

Passaggio 4

Riscrivi $\cos (t) + \sin (t)$ come $\sin (t) + \cos (t)$ .

$\sin (t) + \cos (t)$

Passaggio 5

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\sin^{3} (t) + \cos^{3} (t) + \sin (t) \cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) \cos (t) = \sin (t) + \cos (t)$ è un'identità