Trigonometria Esempi

$\frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)} = \frac{\cot (x)}{\csc (x) + 1}$

Passaggio 1

Inizia dal lato destro.

$\frac{\cot (x)}{\csc (x) + 1}$

Passaggio 2

Moltiplica $\frac{\cot (x)}{\csc (x) + 1}$ per $\frac{- \csc (x) + 1}{- \csc (x) + 1}$ .

$\frac{\cot (x)}{\csc (x) + 1} \cdot \frac{- \csc (x) + 1}{- \csc (x) + 1}$

Passaggio 3

Combina.

$\frac{\cot (x) (- \csc (x) + 1)}{(\csc (x) + 1) (- \csc (x) + 1)}$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cot (x) (- \csc (x)) + \cot (x) \cdot 1}{(\csc (x) + 1) (- \csc (x) + 1)}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\cot (x)$ per $1$ .

$\frac{\cot (x) (- \csc (x)) + \cot (x)}{(\csc (x) + 1) (- \csc (x) + 1)}$

Passaggio 4.3

Riordina i fattori in $\cot (x) (- \csc (x)) + \cot (x)$ .

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{(\csc (x) + 1) (- \csc (x) + 1)}$

Passaggio 5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.1

Espandi $(\csc (x) + 1) (- \csc (x) + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) (- \csc (x) + 1) + 1 (- \csc (x) + 1)}$

Passaggio 5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot 1 + 1 (- \csc (x) + 1)}$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + 1 \cdot 1}$

Passaggio 5.2

Semplifica e combina i termini simili.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{- \csc^{2} (x) + 1}$

Passaggio 6

Applica l'identità pitagorica.

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Passaggio 6.1

Scomponi $- 1$ da $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{- (\csc^{2} (x)) + 1}$

Passaggio 6.2

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Passaggio 6.3

Scomponi $- 1$ da $- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{- (\csc^{2} (x) - 1)}$

Passaggio 6.4

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{- \cot (x) \csc (x) + \cot (x)}{- \cot^{2} (x)}$

Passaggio 7

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 7.1

Scrivi $\cot (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) + \cot (x)}{- \cot^{2} (x)}$

Passaggio 7.2

Applica l'identità reciproca a $\csc (x)$ .

$\frac{- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)}{- \cot^{2} (x)}$

Passaggio 7.3

Scrivi $\cot (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{- \cot^{2} (x)}$

Passaggio 7.4

Scrivi $\cot (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Passaggio 7.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Passaggio 8.2

Moltiplica $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Passaggio 8.2.1

Moltiplica $\frac{1}{\sin (x)}$ per $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Passaggio 8.2.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Passaggio 8.2.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Passaggio 8.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Passaggio 8.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Passaggio 8.3

Per scrivere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Passaggio 8.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${\sin (x)}^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 8.4.1

Moltiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ per $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Passaggio 8.4.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Passaggio 8.4.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Passaggio 8.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Passaggio 8.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$(- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Passaggio 8.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Passaggio 8.6

Scomponi $\cos (x)$ da $- \cos (x) + \cos (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 8.6.1

Scomponi $\cos (x)$ da $- \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot - 1 + \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Passaggio 8.6.2

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot - 1 + \cos (x) (\sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Passaggio 8.6.3

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos (x) \cdot - 1 + \cos (x) (\sin (x))$ .

$\frac{\cos (x) (- 1 + \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Passaggio 8.7

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 8.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{\cos (x) (- 1 + \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Passaggio 8.7.2

Scomponi $\cos (x)$ da ${\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{\cos (x) (- 1 + \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}$

Passaggio 8.7.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x) (- 1 + \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}$

Passaggio 8.7.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1 + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{\cos (x)}$

Passaggio 8.8

Elimina il fattore comune di ${\sin (x)}^{2}$ .

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Passaggio 8.8.1

Scomponi ${\sin (x)}^{2}$ da $- {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{- 1 + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{\cos (x)}$

Passaggio 8.8.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 + \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{\cos (x)}$

Passaggio 8.8.3

Riscrivi l'espressione.

$(- 1 + \sin (x)) \frac{- 1}{\cos (x)}$

Passaggio 8.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(- 1 + \sin (x)) (- \frac{1}{\cos (x)})$

Passaggio 8.10

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 (- \frac{1}{\cos (x)}) + \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)})$

Passaggio 8.11

Moltiplica $- 1 (- \frac{1}{\cos (x)})$ .

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Passaggio 8.11.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)})$

Passaggio 8.11.2

Moltiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ per $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)})$

Passaggio 8.12

$\sin (x)$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 9

Ora considera il lato sinistro dell'equazione.

$\frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Passaggio 10

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 10.1

Applica l'identità reciproca a $\csc (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\cot (x)}$

Passaggio 10.2

Scrivi $\cot (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(\frac{1}{\sin (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 11.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 11.3

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

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Passaggio 11.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 11.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 11.4

Riscrivi $- 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ come $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 12

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)} = \frac{\cot (x)}{\csc (x) + 1}$ è un'identità