Trigonometria Esempi

$\cot (x) + \sec (x) \csc (x) = \frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Passaggio 1

Inizia dal lato destro.

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Passaggio 2

Somma le frazioni.

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Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Passaggio 2.2

Per scrivere $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)}$ per $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ per $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\tan (x) (1 - \cos (x)) + \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\tan (x) \cdot 1 + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $\tan (x)$ per $1$ .

$\frac{\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.2

Riordina i fattori in $\tan (x) + \tan (x) (- \cos (x)) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1

Espandi $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

Passaggio 4.2

Semplifica e combina i termini simili.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Passaggio 5

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\tan (x) - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 6

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 6.1

Scrivi $\tan (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \tan (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 6.2

Scrivi $\tan (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1.1

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 7.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nel numeratore.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.1.2

Somma $- \sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 0 + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.1.3

Somma $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $0$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.1.4

Scomponi $\sin (x)$ da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 7.1.4.1

Scomponi $\sin (x)$ da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.1.4.2

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) (\cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.1.4.3

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin (x) \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) (\cos (x))$ .

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.1.5

Per scrivere $\cos (x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)})}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sin (x) \frac{1 + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.1.7

Moltiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 7.1.7.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.1.7.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.1.7.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.1.7.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin (x) \frac{1 + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.2

$\sin (x)$ e $\frac{1 + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2})}{\cos (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2})}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.4

Combina.

$\frac{\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.5

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ e ${\sin (x)}^{2}$ .

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Passaggio 7.5.1

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin (x) (1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (x) ((1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1)}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.5.2.1

Scomponi $\sin (x)$ da $\cos (x) {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{\sin (x) ((1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Passaggio 7.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (x) ((1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1)}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Passaggio 7.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(1 + {\cos (x)}^{2}) \cdot 1}{\cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 7.6

Moltiplica $1 + {\cos (x)}^{2}$ per $1$ .

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 8

Ora considera il lato sinistro dell'equazione.

$\cot (x) + \sec (x) \csc (x)$

Passaggio 9

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 9.1

Scrivi $\cot (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sec (x) \csc (x)$

Passaggio 9.2

Applica l'identità reciproca a $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \csc (x)$

Passaggio 9.3

Applica l'identità reciproca a $\csc (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 10

Moltiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ per $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 11

Somma le frazioni.

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Passaggio 11.1

Per scrivere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 11.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $\sin (x) \cos (x)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 11.2.1

Moltiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ per $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 11.2.2

Riordina i fattori di $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 11.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + 1}{\cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 12

Moltiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1}{\cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 13

Riordina i termini.

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 14

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\cot (x) + \sec (x) \csc (x) = \frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ è un'identità