Trigonometria Esempi

$\frac{1 - \cot^{2} (x)}{1 + \cot^{2} (x)} + 2 \cos^{2} (x) = 1$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{1 - \cot^{2} (x)}{1 + \cot^{2} (x)} + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{1 - \cot^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - \cot^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \cot (x)$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (1 - \cot (x))}{\csc^{2} (x)} + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.1.2.3.1

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{(1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \cot (x))}{\csc^{2} (x)} + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.2.3.2

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{(1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\csc^{2} (x)} + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.1.3.1

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{(1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}} + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}} + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{(1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\frac{1}{\sin^{2} (x)}} + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.5

Espandi $(1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$(1 (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.6.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$(1 + 1 (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.6.1.2

Moltiplica $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ per $1$ .

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.6.1.3

Moltiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ per $1$ .

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.6.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.6.1.5

Moltiplica $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Passaggio 2.1.6.1.5.1

Moltiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ per $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.6.1.5.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.6.1.5.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.6.1.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.6.1.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.6.1.5.6

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.6.1.5.7

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.6.1.5.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.6.1.5.9

Somma $1$ e $1$ .

$(1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.6.2

Somma $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(1 + 0 - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.6.3

Somma $1$ e $0$ .

$(1 - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$1 \sin^{2} (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.8

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $1$ .

$\sin^{2} (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.9

Elimina il fattore comune di $\sin^{2} (x)$ .

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Passaggio 2.1.9.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ nel numeratore.

$\sin^{2} (x) + \frac{- \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.9.2

Elimina il fattore comune.

$\sin^{2} (x) + \frac{- \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.9.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.2

Somma $- \cos^{2} (x)$ e $2 \cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.3

Applica l'identità pitagorica.

$1$

Passaggio 3

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{1 - \cot^{2} (x)}{1 + \cot^{2} (x)} + 2 \cos^{2} (x) = 1$ è un'identità