Trigonometria Esempi

${(\cos (2 x) + \sin (2 x))}^{2} = 1 + \sin (4 x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

${(\cos (2 x) + \sin (2 x))}^{2}$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${(\cos (2 x) + \sin (2 x))}^{2}$ come $(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$ .

$(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$

Passaggio 2.2

Espandi $(\cos (2 x) + \sin (2 x)) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (2 x) (\cos (2 x) + \sin (2 x)) + \sin (2 x) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (2 x) \cos (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (\cos (2 x) + \sin (2 x))$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (2 x) \cos (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $\cos (2 x) \cos (2 x)$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Eleva $\cos (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{1} (2 x) \cos (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

Passaggio 2.3.1.1.2

Eleva $\cos (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

Passaggio 2.3.1.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\cos (2 x)}^{1 + 1} + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

Passaggio 2.3.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $\sin (2 x) \sin (2 x)$ .

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Passaggio 2.3.1.2.1

Eleva $\sin (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin (2 x)$

Passaggio 2.3.1.2.2

Eleva $\sin (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x)$

Passaggio 2.3.1.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + {\sin (2 x)}^{1 + 1}$

Passaggio 2.3.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x)$

Passaggio 2.3.2

Riordina i fattori di $\sin (2 x) \cos (2 x)$ .

$\cos^{2} (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin^{2} (2 x)$

Passaggio 2.3.3

Somma $\cos (2 x) \sin (2 x)$ e $\cos (2 x) \sin (2 x)$ .

$\cos^{2} (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + \sin^{2} (2 x)$

Passaggio 2.4

Sposta $\sin^{2} (2 x)$ .

$\cos^{2} (2 x) + \sin^{2} (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x)$

Passaggio 2.5

Rimetti in ordine i termini.

$\sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (2 x)$

Passaggio 2.6

Applica l'identità pitagorica.

$1 + 2 \cos (2 x) \sin (2 x)$

Passaggio 2.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.7.1

Riordina $2 \cos (2 x)$ e $\sin (2 x)$ .

$1 + \sin (2 x) (2 \cos (2 x))$

Passaggio 2.7.2

Riordina $\sin (2 x)$ e $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (2 x) \cos (2 x)$

Passaggio 2.7.3

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$1 + \sin (2 (2 x))$

Passaggio 2.7.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$1 + \sin (4 x)$

Passaggio 3

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

${(\cos (2 x) + \sin (2 x))}^{2} = 1 + \sin (4 x)$ è un'identità