Trigonometria Esempi

$(\sec (u) - \tan (u)) (\sec (u) + \tan (u)) = 1$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$(\sec (u) - \tan (u)) (\sec (u) + \tan (u))$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1

Riscrivi $\sec (u)$ in termini di seno e coseno.

$(\frac{1}{\cos (u)} - \tan (u)) (\sec (u) + \tan (u))$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $\tan (u)$ in termini di seno e coseno.

$(\frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)}) (\sec (u) + \tan (u))$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $\sec (u)$ in termini di seno e coseno.

$(\frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)}) (\frac{1}{\cos (u)} + \tan (u))$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\tan (u)$ in termini di seno e coseno.

$(\frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)}) (\frac{1}{\cos (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u)})$

Passaggio 2.3

Espandi $(\frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)}) (\frac{1}{\cos (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u)})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\cos (u)} (\frac{1}{\cos (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u)}) - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} (\frac{1}{\cos (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u)})$

Passaggio 2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} + \frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} (\frac{1}{\cos (u)} + \frac{\sin (u)}{\cos (u)})$

Passaggio 2.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} + \frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Passaggio 2.4

Combina i termini opposti in $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} + \frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ .

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Passaggio 2.4.1

Riordina i fattori nei termini di $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ e $- \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)}$ .

$\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} + \frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Passaggio 2.4.2

Sottrai $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ da $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ .

$\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} + 0 - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Passaggio 2.4.3

Somma $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)}$ e $0$ .

$\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Passaggio 2.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.5.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos (u)} \cdot \frac{1}{\cos (u)}$ .

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Passaggio 2.5.1.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos (u)}$ per $\frac{1}{\cos (u)}$ .

$\frac{1}{\cos (u) \cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Passaggio 2.5.1.2

Eleva $\cos (u)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (u) \cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Passaggio 2.5.1.3

Eleva $\cos (u)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (u) \cos^{1} (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Passaggio 2.5.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{{\cos (u)}^{1 + 1}} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Passaggio 2.5.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $- \frac{\sin (u)}{\cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ .

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Passaggio 2.5.2.1

Moltiplica $\frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ per $\frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin (u) \sin (u)}{\cos (u) \cos (u)}$

Passaggio 2.5.2.2

Eleva $\sin (u)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{1} (u) \sin (u)}{\cos (u) \cos (u)}$

Passaggio 2.5.2.3

Eleva $\sin (u)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{1} (u) \sin^{1} (u)}{\cos (u) \cos (u)}$

Passaggio 2.5.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{{\sin (u)}^{1 + 1}}{\cos (u) \cos (u)}$

Passaggio 2.5.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{\cos (u) \cos (u)}$

Passaggio 2.5.2.6

Eleva $\cos (u)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{\cos^{1} (u) \cos (u)}$

Passaggio 2.5.2.7

Eleva $\cos (u)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{\cos^{1} (u) \cos^{1} (u)}$

Passaggio 2.5.2.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{{\cos (u)}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.5.2.9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{\cos^{2} (u)}$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - \sin^{2} (u)}{\cos^{2} (u)}$

Passaggio 2.7

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\cos^{2} (u)}{\cos^{2} (u)}$

Passaggio 2.8

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (u)$ .

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Passaggio 2.8.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos^{2} (u)}{\cos^{2} (u)}$

Passaggio 2.8.2

Riscrivi l'espressione.

$1$

Passaggio 3

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$(\sec (u) - \tan (u)) (\sec (u) + \tan (u)) = 1$ è un'identità