Trigonometria Esempi

\frac{1 - sin (2 x)}{sin (x) - cos (x)} = sin (x) - cos (x)

$\frac{1 - \sin (2 x)}{\sin (x) - \cos (x)} = \sin (x) - \cos (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

\frac{1 - sin (2 x)}{sin (x) - cos (x)}

$\frac{1 - \sin (2 x)}{\sin (x) - \cos (x)}$

Passaggio 2

Moltiplica

\frac{1 - sin (2 x)}{sin (x) - cos (x)}

$\frac{1 - \sin (2 x)}{\sin (x) - \cos (x)}$ per

\frac{- sin (x) + cos (x)}{- sin (x) + cos (x)}

$\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{- \sin (x) + \cos (x)}$ .

\frac{1 - sin (2 x)}{sin (x) - cos (x)} \cdot \frac{- sin (x) + cos (x)}{- sin (x) + cos (x)}

$\frac{1 - \sin (2 x)}{\sin (x) - \cos (x)} \cdot \frac{- \sin (x) + \cos (x)}{- \sin (x) + \cos (x)}$

Passaggio 3

Combina.

\frac{(1 - sin (2 x)) (- sin (x) + cos (x))}{(sin (x) - cos (x)) (- sin (x) + cos (x))}

$\frac{(1 - \sin (2 x)) (- \sin (x) + \cos (x))}{(\sin (x) - \cos (x)) (- \sin (x) + \cos (x))}$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1

Espandi

(1 - sin (2 x)) (- sin (x) + cos (x))

$(1 - \sin (2 x)) (- \sin (x) + \cos (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

\frac{1 (- sin (x) + cos (x)) - sin (2 x) (- sin (x) + cos (x))}{(sin (x) - cos (x)) (- sin (x) + cos (x))}

$\frac{1 (- \sin (x) + \cos (x)) - \sin (2 x) (- \sin (x) + \cos (x))}{(\sin (x) - \cos (x)) (- \sin (x) + \cos (x))}$

Passaggio 4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

\frac{1 (- sin (x)) + 1 cos (x) - sin (2 x) (- sin (x) + cos (x))}{(sin (x) - cos (x)) (- sin (x) + cos (x))}

$\frac{1 (- \sin (x)) + 1 \cos (x) - \sin (2 x) (- \sin (x) + \cos (x))}{(\sin (x) - \cos (x)) (- \sin (x) + \cos (x))}$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

\frac{1 (- sin (x)) + 1 cos (x) - sin (2 x) (- sin (x)) - sin (2 x) cos (x)}{(sin (x) - cos (x)) (- sin (x) + cos (x))}

$\frac{1 (- \sin (x)) + 1 \cos (x) - \sin (2 x) (- \sin (x)) - \sin (2 x) \cos (x)}{(\sin (x) - \cos (x)) (- \sin (x) + \cos (x))}$

\frac{1 (- sin (x)) + 1 cos (x) - sin (2 x) (- sin (x)) - sin (2 x) cos (x)}{(sin (x) - cos (x)) (- sin (x) + cos (x))}

$\frac{1 (- \sin (x)) + 1 \cos (x) - \sin (2 x) (- \sin (x)) - \sin (2 x) \cos (x)}{(\sin (x) - \cos (x)) (- \sin (x) + \cos (x))}$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

\frac{- sin (x) + cos (x) + sin (2 x) sin (x) - sin (2 x) cos (x)}{(sin (x) - cos (x)) (- sin (x) + cos (x))}

$\frac{- \sin (x) + \cos (x) + \sin (2 x) \sin (x) - \sin (2 x) \cos (x)}{(\sin (x) - \cos (x)) (- \sin (x) + \cos (x))}$

\frac{- sin (x) + cos (x) + sin (2 x) sin (x) - sin (2 x) cos (x)}{(sin (x) - cos (x)) (- sin (x) + cos (x))}

$\frac{- \sin (x) + \cos (x) + \sin (2 x) \sin (x) - \sin (2 x) \cos (x)}{(\sin (x) - \cos (x)) (- \sin (x) + \cos (x))}$

Passaggio 5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.1

Espandi

(sin (x) - cos (x)) (- sin (x) + cos (x))

$(\sin (x) - \cos (x)) (- \sin (x) + \cos (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

\frac{- sin (x) + cos (x) + sin (2 x) sin (x) - sin (2 x) cos (x)}{sin (x) (- sin (x) + cos (x)) - cos (x) (- sin (x) + cos (x))}

$\frac{- \sin (x) + \cos (x) + \sin (2 x) \sin (x) - \sin (2 x) \cos (x)}{\sin (x) (- \sin (x) + \cos (x)) - \cos (x) (- \sin (x) + \cos (x))}$

Passaggio 5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

\frac{- sin (x) + cos (x) + sin (2 x) sin (x) - sin (2 x) cos (x)}{sin (x) (- sin (x)) + sin (x) cos (x) - cos (x) (- sin (x) + cos (x))}

$\frac{- \sin (x) + \cos (x) + \sin (2 x) \sin (x) - \sin (2 x) \cos (x)}{\sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x) + \cos (x))}$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

\frac{- sin (x) + cos (x) + sin (2 x) sin (x) - sin (2 x) cos (x)}{sin (x) (- sin (x)) + sin (x) cos (x) - cos (x) (- sin (x)) - cos (x) cos (x)}

$\frac{- \sin (x) + \cos (x) + \sin (2 x) \sin (x) - \sin (2 x) \cos (x)}{\sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}$

\frac{- sin (x) + cos (x) + sin (2 x) sin (x) - sin (2 x) cos (x)}{sin (x) (- sin (x)) + sin (x) cos (x) - cos (x) (- sin (x)) - cos (x) cos (x)}

$\frac{- \sin (x) + \cos (x) + \sin (2 x) \sin (x) - \sin (2 x) \cos (x)}{\sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) - \cos (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}$

Passaggio 5.2

Semplifica e combina i termini simili.

\frac{- sin (x) + cos (x) + sin (2 x) sin (x) - sin (2 x) cos (x)}{- {sin}^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x) - {cos}^{2} (x)}

$\frac{- \sin (x) + \cos (x) + \sin (2 x) \sin (x) - \sin (2 x) \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) - \cos^{2} (x)}$

\frac{- sin (x) + cos (x) + sin (2 x) sin (x) - sin (2 x) cos (x)}{- {sin}^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x) - {cos}^{2} (x)}

$\frac{- \sin (x) + \cos (x) + \sin (2 x) \sin (x) - \sin (2 x) \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) - \cos^{2} (x)}$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1

Sposta

- {cos}^{2} (x)

$- \cos^{2} (x)$ .

\frac{- sin (x) + cos (x) + sin (2 x) sin (x) - sin (2 x) cos (x)}{- {sin}^{2} (x) - {cos}^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x)}

$\frac{- \sin (x) + \cos (x) + \sin (2 x) \sin (x) - \sin (2 x) \cos (x)}{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 6.2

Scomponi

- 1

$- 1$ da

- {sin}^{2} (x)

$- \sin^{2} (x)$ .

\frac{- sin (x) + cos (x) + sin (2 x) sin (x) - sin (2 x) cos (x)}{- ({sin}^{2} (x)) - {cos}^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x)}

$\frac{- \sin (x) + \cos (x) + \sin (2 x) \sin (x) - \sin (2 x) \cos (x)}{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 6.3

Scomponi

- 1

$- 1$ da

- {cos}^{2} (x)

$- \cos^{2} (x)$ .

\frac{- sin (x) + cos (x) + sin (2 x) sin (x) - sin (2 x) cos (x)}{- ({sin}^{2} (x)) - ({cos}^{2} (x)) + 2 cos (x) sin (x)}

$\frac{- \sin (x) + \cos (x) + \sin (2 x) \sin (x) - \sin (2 x) \cos (x)}{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x)) + 2 \cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 6.4

Scomponi

- 1

$- 1$ da

- ({sin}^{2} (x)) - ({cos}^{2} (x))

$- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

\frac{- sin (x) + cos (x) + sin (2 x) sin (x) - sin (2 x) cos (x)}{- ({sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x)) + 2 cos (x) sin (x)}

$\frac{- \sin (x) + \cos (x) + \sin (2 x) \sin (x) - \sin (2 x) \cos (x)}{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 2 \cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 6.5

Applica l'identità pitagorica.

\frac{- sin (x) + cos (x) + sin (2 x) sin (x) - sin (2 x) cos (x)}{- 1 \cdot 1 + 2 cos (x) sin (x)}

$\frac{- \sin (x) + \cos (x) + \sin (2 x) \sin (x) - \sin (2 x) \cos (x)}{- 1 \cdot 1 + 2 \cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 6.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.6.1

Riordina i termini.

\frac{sin (x) sin (2 x) - cos (x) sin (2 x) - sin (x) + cos (x)}{- 1 \cdot 1 + 2 cos (x) sin (x)}

$\frac{\sin (x) \sin (2 x) - \cos (x) \sin (2 x) - \sin (x) + \cos (x)}{- 1 \cdot 1 + 2 \cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 6.6.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 6.6.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

\frac{(sin (x) sin (2 x) - cos (x) sin (2 x)) - sin (x) + cos (x)}{- 1 \cdot 1 + 2 cos (x) sin (x)}

$\frac{(\sin (x) \sin (2 x) - \cos (x) \sin (2 x)) - \sin (x) + \cos (x)}{- 1 \cdot 1 + 2 \cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 6.6.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

\frac{sin (2 x) (sin (x) - cos (x)) - (sin (x) - cos (x))}{- 1 \cdot 1 + 2 cos (x) sin (x)}

$\frac{\sin (2 x) (\sin (x) - \cos (x)) - (\sin (x) - \cos (x))}{- 1 \cdot 1 + 2 \cos (x) \sin (x)}$

\frac{sin (2 x) (sin (x) - cos (x)) - (sin (x) - cos (x))}{- 1 \cdot 1 + 2 cos (x) sin (x)}

$\frac{\sin (2 x) (\sin (x) - \cos (x)) - (\sin (x) - \cos (x))}{- 1 \cdot 1 + 2 \cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 6.6.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore,

sin (x) - cos (x)

$\sin (x) - \cos (x)$ .

\frac{(sin (x) - cos (x)) (sin (2 x) - 1)}{- 1 \cdot 1 + 2 cos (x) sin (x)}

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (2 x) - 1)}{- 1 \cdot 1 + 2 \cos (x) \sin (x)}$

\frac{(sin (x) - cos (x)) (sin (2 x) - 1)}{- 1 \cdot 1 + 2 cos (x) sin (x)}

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (2 x) - 1)}{- 1 \cdot 1 + 2 \cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 6.7

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.7.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

\frac{(sin (x) - cos (x)) (sin (2 x) - 1)}{- 1 + 2 cos (x) sin (x)}

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (2 x) - 1)}{- 1 + 2 \cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 6.7.2

Riordina

2 cos (x)

$2 \cos (x)$ e

sin (x)

$\sin (x)$ .

\frac{(sin (x) - cos (x)) (sin (2 x) - 1)}{- 1 + sin (x) (2 cos (x))}

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (2 x) - 1)}{- 1 + \sin (x) (2 \cos (x))}$

Passaggio 6.7.3

Riordina

sin (x)

$\sin (x)$ e

2

$2$ .

\frac{(sin (x) - cos (x)) (sin (2 x) - 1)}{- 1 + 2 \cdot sin (x) cos (x)}

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (2 x) - 1)}{- 1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x)}$

Passaggio 6.7.4

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

\frac{(sin (x) - cos (x)) (sin (2 x) - 1)}{- 1 + sin (2 x)}

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (2 x) - 1)}{- 1 + \sin (2 x)}$

\frac{(sin (x) - cos (x)) (sin (2 x) - 1)}{- 1 + sin (2 x)}

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (2 x) - 1)}{- 1 + \sin (2 x)}$

Passaggio 6.8

Elimina il fattore comune di

sin (2 x) - 1

$\sin (2 x) - 1$ e

- 1 + sin (2 x)

$- 1 + \sin (2 x)$ .

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Passaggio 6.8.1

Riordina i termini.

\frac{(sin (x) - cos (x)) (- 1 + sin (2 x))}{- 1 + sin (2 x)}

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (- 1 + \sin (2 x))}{- 1 + \sin (2 x)}$

Passaggio 6.8.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) (- 1 + \sin (2 x))}{- 1 + \sin (2 x)}$

Passaggio 6.8.3

Dividi

$\sin (x) - \cos (x)$ per

$1$ .

$\sin (x) - \cos (x)$

Passaggio 7

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{1 - \sin (2 x)}{\sin (x) - \cos (x)} = \sin (x) - \cos (x)$ è un'identità