Trigonometria Esempi

$\frac{1}{1 + \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)} = - 2 \csc (x) \cot (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{1}{1 + \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)}$

Passaggio 2

Sottrai le frazioni.

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Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)}$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- \frac{1}{1 - \cos (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ per $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ per $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{1 + \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - \cos (x) - (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 - \cos (x) - 1 \cdot 1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) - 1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0 - \cos (x) - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.3

Sottrai $\cos (x)$ da $0$ .

$\frac{- \cos (x) - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 3.4

Sottrai $\cos (x)$ da $- \cos (x)$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1

Espandi $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

Passaggio 4.2

Semplifica e combina i termini simili.

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Passaggio 5

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 7

Scrivi $- 1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 8

Combina.

$\frac{- (2 \cos (x))}{1 \sin^{2} (x)}$

Passaggio 9

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \sin^{2} (x)}$

Passaggio 10

Moltiplica ${\sin (x)}^{2}$ per $1$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 12

Ora considera il lato destro dell'equazione.

$- 2 \csc (x) \cot (x)$

Passaggio 13

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 13.1

Applica l'identità reciproca a $\csc (x)$ .

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)$

Passaggio 13.2

Scrivi $\cot (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

$- 2$ e $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{- 2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 14.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 14.3

Moltiplica $- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Passaggio 14.3.1

Moltiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ per $\frac{2}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x) \sin (x)}$

Passaggio 14.3.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

Passaggio 14.3.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

Passaggio 14.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Passaggio 14.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 14.4

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (x)$ .

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 15

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{1}{1 + \cos (x)} - \frac{1}{1 - \cos (x)} = - 2 \csc (x) \cot (x)$ è un'identità