Trigonometria Esempi

$2 \cos^{2} (22.5) - 1$

Passaggio 1

Il valore esatto di $\cos (22.5)$ è $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Passaggio 1.1

Riscrivi $22.5$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$2 \cos^{2} (\frac{45}{2}) - 1$

Passaggio 1.2

Applica l'identità a mezzo angolo per il coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$2 {(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})}^{2} - 1$

Passaggio 1.3

Cambia $\pm$ in $+$ poiché il coseno è positivo nel primo quadrante.

$2 {\sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}}^{2} - 1$

Passaggio 1.4

Il valore esatto di $\cos (45)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 {\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} - 1$

Passaggio 1.5

Semplifica $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Passaggio 1.5.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$2 {\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} - 1$

Passaggio 1.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 {\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} - 1$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2} - 1$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.5.4.1

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2} - 1$

Passaggio 1.5.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}^{2} - 1$

Passaggio 1.5.5

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2} - 1$

Passaggio 1.5.6

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.5.6.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2} - 1$

Passaggio 1.5.6.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$2 {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2} - 1$

Passaggio 2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$2 \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - 1$

Passaggio 3

Riscrivi ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ come $2 + \sqrt{2}$ .

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ come ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 1$

Passaggio 3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 1$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 1$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 1$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}} - 1$

Passaggio 3.5

Semplifica.

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}} - 1$

Passaggio 4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{4} - 1$

Passaggio 5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2 (2)} - 1$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - 1$

Passaggio 5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} - 1$

Passaggio 6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 + \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 9

Riscrivi $\frac{2 + \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{2} - 2}{2}$

Passaggio 9.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{0 + \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 9.3

Somma $0$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Forma decimale:

$0.70710678 \dots$