Trigonometria Esempi

$\cos (\frac{π}{12}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{12})$ è $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi $\frac{π}{12}$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 1.2

Applica le formule di sottrazione degli angoli $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$(\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 1.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 1.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 1.7

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 1.7.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 1.7.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 1.7.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 1.7.1.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 1.7.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 1.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 2

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{11 π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 5

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{3}}{4 \cdot 2} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 5.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 7

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 8

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $6$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{18} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 9.2

Riscrivi $18$ come $3^{2} \cdot 2$ .

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Passaggio 9.2.1

Scomponi $9$ da $18$ .

$\frac{\sqrt{9 (2)} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 9.2.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 9.3

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 9.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 10

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{12})$ è $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $\frac{π}{12}$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 10.2

Applica le formule di sottrazione degli angoli.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 10.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 10.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 10.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 10.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 10.7

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.7.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.7.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 10.7.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 10.7.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 10.7.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 10.7.1.2

Moltiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.7.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 10.7.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 10.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (- \frac{π}{6})$

Passaggio 11

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 12

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 13

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{1}{2})$

Passaggio 14

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 14.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$

Passaggio 16

Riscrivi $\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - - \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 16.2

Moltiplica $- - \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 16.2.2

Moltiplica $\sqrt{2}$ per $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 16.3

Somma $3 \sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6}}{8}$

Passaggio 16.4

Sottrai $\sqrt{6}$ da $\sqrt{6}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} + 0}{8}$

Passaggio 16.5

Somma $4 \sqrt{2}$ e $0$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 16.6

Riduci l'espressione $\frac{4 \sqrt{2}}{8}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.6.1

Scomponi $4$ da $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2})}{8}$

Passaggio 16.6.2

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 16.6.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 16.6.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 17

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Forma decimale:

$0.70710678 \dots$