Trigonometria Esempi

(4 \sqrt{3} - 4 i) \cdot (8 i)

$(4 \sqrt{3} - 4 i) \cdot (8 i)$

Passaggio 1

Applica la proprietà distributiva.

4 \sqrt{3} (8 i) - 4 i (8 i)

$4 \sqrt{3} (8 i) - 4 i (8 i)$

Passaggio 2

Moltiplica

8

$8$ per

4

$4$ .

32 \sqrt{3} i - 4 i (8 i)

$32 \sqrt{3} i - 4 i (8 i)$

Passaggio 3

Moltiplica

- 4 i (8 i)

$- 4 i (8 i)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica

8

$8$ per

- 4

$- 4$ .

32 \sqrt{3} i - 32 i i

$32 \sqrt{3} i - 32 i i$

Passaggio 3.2

Eleva

i

$i$ alla potenza di

1

$1$ .

32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i)

$32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i)$

Passaggio 3.3

Eleva

i

$i$ alla potenza di

1

$1$ .

32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i^{1})

$32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i^{1})$

Passaggio 3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

32 \sqrt{3} i - 32 i^{1 + 1}

$32 \sqrt{3} i - 32 i^{1 + 1}$

Passaggio 3.5

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

32 \sqrt{3} i - 32 i^{2}

$32 \sqrt{3} i - 32 i^{2}$

32 \sqrt{3} i - 32 i^{2}

$32 \sqrt{3} i - 32 i^{2}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi

i^{2}

$i^{2}$ come

- 1

$- 1$ .

32 \sqrt{3} i - 32 \cdot - 1

$32 \sqrt{3} i - 32 \cdot - 1$

Passaggio 4.2

Moltiplica

- 32

$- 32$ per

- 1

$- 1$ .

32 \sqrt{3} i + 32

$32 \sqrt{3} i + 32$

32 \sqrt{3} i + 32

$32 \sqrt{3} i + 32$

Passaggio 5

Riordina

32 \sqrt{3} i

$32 \sqrt{3} i$ e

32

$32$ .

32 + 32 \sqrt{3} i

$32 + 32 \sqrt{3} i$

Passaggio 6

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove

| z |

$| z |$ è il modulo e

θ

$θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 7

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove

z = a + b i

$z = a + b i$

Passaggio 8

Sostituisci i valori effettivi di

a = 32

$a = 32$ e

b = 32 \sqrt{3}

$b = 32 \sqrt{3}$ .

| z | = \sqrt{{(32 \sqrt{3})}^{2} + 32^{2}}

$| z | = \sqrt{{(32 \sqrt{3})}^{2} + 32^{2}}$

Passaggio 9

Trova

| z |

$| z |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Applica la regola del prodotto a

32 \sqrt{3}

$32 \sqrt{3}$ .

| z | = \sqrt{32^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}

$| z | = \sqrt{32^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}$

Passaggio 9.1.2

Eleva

32

$32$ alla potenza di

2

$2$ .

| z | = \sqrt{1024 {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}

$| z | = \sqrt{1024 {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}$

| z | = \sqrt{1024 {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}

$| z | = \sqrt{1024 {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}$

Passaggio 9.2

Riscrivi

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ come

3

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ come

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

| z | = \sqrt{1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 32^{2}}

$| z | = \sqrt{1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 32^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 32^{2}}

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 32^{2}}$

Passaggio 9.2.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

2

$2$ .

| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 32^{2}}

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 32^{2}}$

Passaggio 9.2.4

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 32^{2}}$

Passaggio 9.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3 + 32^{2}}$

Passaggio 9.2.5

Calcola l'esponente.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3 + 32^{2}}$

Passaggio 9.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica

$1024$ per

$3$ .

$| z | = \sqrt{3072 + 32^{2}}$

Passaggio 9.3.2

Eleva

$32$ alla potenza di

$2$ .

$| z | = \sqrt{3072 + 1024}$

Passaggio 9.3.3

Somma

$3072$ e

$1024$ .

$| z | = \sqrt{4096}$

Passaggio 9.3.4

Riscrivi

$4096$ come

$64^{2}$ .

$| z | = \sqrt{64^{2}}$

Passaggio 9.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = 64$

Passaggio 10

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{32 \sqrt{3}}{32})$

Passaggio 11

Poiché l'inverso della tangente di

$\frac{32 \sqrt{3}}{32}$ produce un angolo nel primo quadrante, il valore dell'angolo è

$\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Passaggio 12

Sostituisci i valori di

$θ = \frac{π}{3}$ e

$| z | = 64$ .

$64 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$