Trigonometria Esempi

$(4 \sqrt{3} - 4 i) \cdot (8 i)$

Passaggio 1

Applica la proprietà distributiva.

$4 \sqrt{3} (8 i) - 4 i (8 i)$

Passaggio 2

Moltiplica $8$ per $4$ .

$32 \sqrt{3} i - 4 i (8 i)$

Passaggio 3

Moltiplica $- 4 i (8 i)$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica $8$ per $- 4$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 i i$

Passaggio 3.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i)$

Passaggio 3.3

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i^{1})$

Passaggio 3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$32 \sqrt{3} i - 32 i^{1 + 1}$

Passaggio 3.5

Somma $1$ e $1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 i^{2}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 \cdot - 1$

Passaggio 4.2

Moltiplica $- 32$ per $- 1$ .

$32 \sqrt{3} i + 32$

Passaggio 5

Riordina $32 \sqrt{3} i$ e $32$ .

$32 + 32 \sqrt{3} i$

Passaggio 6

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 7

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 8

Sostituisci i valori effettivi di $a = 32$ e $b = 32 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(32 \sqrt{3})}^{2} + 32^{2}}$

Passaggio 9

Trova $| z |$ .

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Passaggio 9.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 9.1.1

Applica la regola del prodotto a $32 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{32^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}$

Passaggio 9.1.2

Eleva $32$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{1024 {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}$

Passaggio 9.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 9.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 32^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 32^{2}}$

Passaggio 9.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 32^{2}}$

Passaggio 9.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 9.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 32^{2}}$

Passaggio 9.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3 + 32^{2}}$

Passaggio 9.2.5

Calcola l'esponente.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3 + 32^{2}}$

Passaggio 9.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 9.3.1

Moltiplica $1024$ per $3$ .

$| z | = \sqrt{3072 + 32^{2}}$

Passaggio 9.3.2

Eleva $32$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{3072 + 1024}$

Passaggio 9.3.3

Somma $3072$ e $1024$ .

$| z | = \sqrt{4096}$

Passaggio 9.3.4

Riscrivi $4096$ come $64^{2}$ .

$| z | = \sqrt{64^{2}}$

Passaggio 9.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = 64$

Passaggio 10

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{32 \sqrt{3}}{32})$

Passaggio 11

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{32 \sqrt{3}}{32}$ produce un angolo nel primo quadrante, il valore dell'angolo è $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Passaggio 12

Sostituisci i valori di $θ = \frac{π}{3}$ e $| z | = 64$ .

$64 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$