Trigonometria Esempi

${(- 1 - 2 i)}^{6}$

Passaggio 1

Usa il teorema binomiale.

${(- 1)}^{6} + 6 {(- 1)}^{5} (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $6$ .

$1 + 6 {(- 1)}^{5} (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$1 + 6 \cdot - 1 (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$1 - 6 (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 6$ .

$1 + 12 i + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$1 + 12 i + 15 \cdot 1 {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.6

Moltiplica $15$ per $1$ .

$1 + 12 i + 15 {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.7

Applica la regola del prodotto a $- 2 i$ .

$1 + 12 i + 15 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.8

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$1 + 12 i + 15 (4 i^{2}) + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.9

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 12 i + 15 (4 \cdot - 1) + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.10

Moltiplica $15 (4 \cdot - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$1 + 12 i + 15 \cdot - 4 + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.10.2

Moltiplica $15$ per $- 4$ .

$1 + 12 i - 60 + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.11

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$1 + 12 i - 60 + 20 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.12

Moltiplica $20$ per $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.13

Applica la regola del prodotto a $- 2 i$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.14

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 i^{3}) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.15

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.16

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 (- 1 \cdot i)) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.17

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 (- i)) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.18

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 (8 i) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.19

Moltiplica $8$ per $- 20$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.20

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 \cdot 1 {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.21

Moltiplica $15$ per $1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.22

Applica la regola del prodotto a $- 2 i$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 ({(- 2)}^{4} i^{4}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.23

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 i^{4}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.24

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.24.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 {(i^{2})}^{2}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.24.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 {(- 1)}^{2}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.24.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 \cdot 1) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.25

Moltiplica $15 (16 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.25.1

Moltiplica $16$ per $1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 \cdot 16 + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.25.2

Moltiplica $15$ per $16$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.26

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.27

Applica la regola del prodotto a $- 2 i$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 ({(- 2)}^{5} i^{5}) + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.28

Eleva $- 2$ alla potenza di $5$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 i^{5}) + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.29

Metti in evidenza $i^{4}$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 (i^{4} i)) + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.30

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.30.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 ({(i^{2})}^{2} i)) + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.30.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 ({(- 1)}^{2} i)) + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.30.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 (1 i)) + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.31

Moltiplica $i$ per $1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 i) + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.32

Moltiplica $- 32$ per $- 6$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + {(- 2 i)}^{6}$

Passaggio 2.1.33

Applica la regola del prodotto a $- 2 i$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + {(- 2)}^{6} i^{6}$

Passaggio 2.1.34

Eleva $- 2$ alla potenza di $6$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 i^{6}$

Passaggio 2.1.35

Metti in evidenza $i^{4}$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 (i^{4} i^{2})$

Passaggio 2.1.36

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.36.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 ({(i^{2})}^{2} i^{2})$

Passaggio 2.1.36.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 ({(- 1)}^{2} i^{2})$

Passaggio 2.1.36.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 (1 i^{2})$

Passaggio 2.1.37

Moltiplica $i^{2}$ per $1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 i^{2}$

Passaggio 2.1.38

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 \cdot - 1$

Passaggio 2.1.39

Moltiplica $64$ per $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i - 64$

Passaggio 2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $60$ da $1$ .

$- 59 + 12 i - 160 i + 240 + 192 i - 64$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Somma $- 59$ e $240$ .

$181 + 12 i - 160 i + 192 i - 64$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $64$ da $181$ .

$117 + 12 i - 160 i + 192 i$

Passaggio 2.2.3

Sottrai $160 i$ da $12 i$ .

$117 - 148 i + 192 i$

Passaggio 2.2.4

Somma $- 148 i$ e $192 i$ .

$117 + 44 i$

Passaggio 3

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 4

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 5

Sostituisci i valori effettivi di $a = 117$ e $b = 44$ .

$| z | = \sqrt{44^{2} + 117^{2}}$

Passaggio 6

Trova $| z |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Eleva $44$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{1936 + 117^{2}}$

Passaggio 6.2

Eleva $117$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{1936 + 13689}$

Passaggio 6.3

Somma $1936$ e $13689$ .

$| z | = \sqrt{15625}$

Passaggio 6.4

Riscrivi $15625$ come $125^{2}$ .

$| z | = \sqrt{125^{2}}$

Passaggio 6.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = 125$

Passaggio 7

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{44}{117})$

Passaggio 8

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{44}{117}$ produce un angolo nel primo quadrante, il valore dell'angolo è $0.35970699$ .

$θ = 0.35970699$

Passaggio 9

Sostituisci i valori di $θ = 0.35970699$ e $| z | = 125$ .

$125 (\cos (0.35970699) + i \sin (0.35970699))$