Trigonometria Esempi

sin (3 x)

$\sin (3 x)$

Passaggio 1

Per espandere

sin (3 x)

$\sin (3 x)$ un buon metodo è la formula di de Moivre

(r {(cos (x) + i \cdot sin (x))}^{n} = r^{n} (cos (n x) + i \cdot sin (n x)))

$(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ . Quando

r = 1

$r = 1$ ,

cos (n x) + i \cdot sin (n x) = {(cos (x) + i \cdot sin (x))}^{n}

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

cos (n x) + i \cdot sin (n x) = {(cos (x) + i \cdot sin (x))}^{n}

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

Passaggio 2

Espandi il lato destro di

cos (n x) + i \cdot sin (n x) = {(cos (x) + i \cdot sin (x))}^{n}

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ usando il teorema binomiale.

Espandi:

{(cos (x) + i \cdot sin (x))}^{3}

${(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{3}$

Passaggio 3

Usa il teorema binomiale.

{cos}^{3} (x) + 3 {cos}^{2} (x) (i sin (x)) + 3 cos (x) {(i sin (x))}^{2} + {(i sin (x))}^{3}

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) (i \sin (x)) + 3 \cos (x) {(i \sin (x))}^{2} + {(i \sin (x))}^{3}$

Passaggio 4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la regola del prodotto a

i sin (x)

$i \sin (x)$ .

{cos}^{3} (x) + 3 {cos}^{2} (x) i sin (x) + 3 cos (x) (i^{2} {sin}^{2} (x)) + {(i sin (x))}^{3}

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) + 3 \cos (x) (i^{2} \sin^{2} (x)) + {(i \sin (x))}^{3}$

Passaggio 4.1.2

Riscrivi

i^{2}

$i^{2}$ come

- 1

$- 1$ .

{cos}^{3} (x) + 3 {cos}^{2} (x) i sin (x) + 3 cos (x) (- 1 {sin}^{2} (x)) + {(i sin (x))}^{3}

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) + 3 \cos (x) (- 1 \sin^{2} (x)) + {(i \sin (x))}^{3}$

Passaggio 4.1.3

Riscrivi

- 1 {sin}^{2} (x)

$- 1 \sin^{2} (x)$ come

- {sin}^{2} (x)

$- \sin^{2} (x)$ .

{cos}^{3} (x) + 3 {cos}^{2} (x) i sin (x) + 3 cos (x) (- {sin}^{2} (x)) + {(i sin (x))}^{3}

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) + 3 \cos (x) (- \sin^{2} (x)) + {(i \sin (x))}^{3}$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

3

$3$ .

{cos}^{3} (x) + 3 {cos}^{2} (x) i sin (x) - 3 cos (x) {sin}^{2} (x) + {(i sin (x))}^{3}

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) + {(i \sin (x))}^{3}$

Passaggio 4.1.5

Applica la regola del prodotto a

i sin (x)

$i \sin (x)$ .

{cos}^{3} (x) + 3 {cos}^{2} (x) i sin (x) - 3 cos (x) {sin}^{2} (x) + i^{3} {sin}^{3} (x)

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) + i^{3} \sin^{3} (x)$

Passaggio 4.1.6

Metti in evidenza

i^{2}

$i^{2}$ .

{cos}^{3} (x) + 3 {cos}^{2} (x) i sin (x) - 3 cos (x) {sin}^{2} (x) + i^{2} \cdot i {sin}^{3} (x)

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) + i^{2} \cdot i \sin^{3} (x)$

Passaggio 4.1.7

Riscrivi

i^{2}

$i^{2}$ come

- 1

$- 1$ .

{cos}^{3} (x) + 3 {cos}^{2} (x) i sin (x) - 3 cos (x) {sin}^{2} (x) - 1 \cdot i {sin}^{3} (x)

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 \cdot i \sin^{3} (x)$

Passaggio 4.1.8

Riscrivi

- 1 i

$- 1 i$ come

- i

$- i$ .

{cos}^{3} (x) + 3 {cos}^{2} (x) i sin (x) - 3 cos (x) {sin}^{2} (x) - i {sin}^{3} (x)

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) - i \sin^{3} (x)$

{cos}^{3} (x) + 3 {cos}^{2} (x) i sin (x) - 3 cos (x) {sin}^{2} (x) - i {sin}^{3} (x)

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) - i \sin^{3} (x)$

Passaggio 4.2

Riordina i fattori in

{cos}^{3} (x) + 3 {cos}^{2} (x) i sin (x) - 3 cos (x) {sin}^{2} (x) - i {sin}^{3} (x)

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) - i \sin^{3} (x)$ .

$\cos^{3} (x) + 3 i \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) - i \sin^{3} (x)$

Passaggio 5

Estrai le espressioni con la parte immaginaria, che sono uguali a

$\sin (3 x)$ . Rimuovi il numero immaginario

$i$ .

$\sin (3 x) = 3 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)$