Trigonometria Esempi

$\sin (3 x)$

Passaggio 1

Per espandere $\sin (3 x)$ un buon metodo è la formula di de Moivre $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ . Quando $r = 1$ , $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

Passaggio 2

Espandi il lato destro di $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ usando il teorema binomiale.

Espandi: ${(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{3}$

Passaggio 3

Usa il teorema binomiale.

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) (i \sin (x)) + 3 \cos (x) {(i \sin (x))}^{2} + {(i \sin (x))}^{3}$

Passaggio 4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la regola del prodotto a $i \sin (x)$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) + 3 \cos (x) (i^{2} \sin^{2} (x)) + {(i \sin (x))}^{3}$

Passaggio 4.1.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) + 3 \cos (x) (- 1 \sin^{2} (x)) + {(i \sin (x))}^{3}$

Passaggio 4.1.3

Riscrivi $- 1 \sin^{2} (x)$ come $- \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) + 3 \cos (x) (- \sin^{2} (x)) + {(i \sin (x))}^{3}$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) + {(i \sin (x))}^{3}$

Passaggio 4.1.5

Applica la regola del prodotto a $i \sin (x)$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) + i^{3} \sin^{3} (x)$

Passaggio 4.1.6

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) + i^{2} \cdot i \sin^{3} (x)$

Passaggio 4.1.7

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 \cdot i \sin^{3} (x)$

Passaggio 4.1.8

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) - i \sin^{3} (x)$

Passaggio 4.2

Riordina i fattori in $\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) - i \sin^{3} (x)$ .

$\cos^{3} (x) + 3 i \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) - i \sin^{3} (x)$

Passaggio 5

Estrai le espressioni con la parte immaginaria, che sono uguali a $\sin (3 x)$ . Rimuovi il numero immaginario $i$ .

$\sin (3 x) = 3 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)$