Trigonometria Esempi

$y = - 6 \sin (- 3 x + \frac{π}{2})$

Passaggio 1

usa la forma $a \sin (b x - c) + d$ per trovare le variabili usate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = - 6$

$b = - 3$

$c = - \frac{π}{2}$

$d = 0$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $6$

Passaggio 3

Trova il periodo di $- 6 \sin (- 3 x + \frac{π}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2

Sostituisci $b$ con $- 3$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| - 3 |}$

Passaggio 3.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 3$ e $0$ è $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{- \frac{π}{2}}{- 3}$

Passaggio 4.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

Sfasamento: $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{- 3}$

Passaggio 4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

Sfasamento: $- \frac{π}{2} \cdot (- \frac{1}{3})$

Passaggio 4.5

Moltiplica $- \frac{π}{2} (- \frac{1}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

Sfasamento: $1 (\frac{π}{2}) \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $1$ .

Sfasamento: $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 4.5.3

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{3}$ .

Sfasamento: $\frac{π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.5.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

Sfasamento: $\frac{π}{6}$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $6$

Periodo: $\frac{2 π}{3}$

Sfasamento: $\frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ a destra)

Traslazione verticale: no

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \sin (- 3 \frac{π}{6} + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \sin (3 (- 1) (\frac{π}{6}) + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.1.2.1.1.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \sin (3 \cdot (- 1 \frac{π}{3 \cdot 2}) + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.1.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \sin (3 \cdot (- 1 \frac{π}{3 \cdot 2}) + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.1.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \sin (- 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.1.2.1.2

Riscrivi $- 1 \frac{π}{2}$ come $- \frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \sin (- \frac{π}{2} + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.1.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \sin (\frac{- π + π}{2})$

Passaggio 6.1.2.2.2

Somma $- π$ e $π$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \sin (\frac{0}{2})$

Passaggio 6.1.2.2.3

Dividi $0$ per $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \sin (0)$

Passaggio 6.1.2.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 6 \cdot 0$

Passaggio 6.1.2.4

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$f (\frac{π}{6}) = 0$

Passaggio 6.1.2.5

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (- 3 \frac{π}{3} + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (3 (- 1) (\frac{π}{3}) + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (3 \cdot (- 1 \frac{π}{3}) + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.2.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (- 1 π + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.2.2.1.2

Riscrivi $- 1 π$ come $- π$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (- π + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.2.2.2

Per scrivere $- π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (- π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.2.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

$- π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (\frac{- π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.2.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (\frac{- π \cdot 2 + π}{2})$

Passaggio 6.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (\frac{- 2 π + π}{2})$

Passaggio 6.2.2.4.2

Somma $- 2 π$ e $π$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (\frac{- π}{2})$

Passaggio 6.2.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (- \frac{π}{2})$

Passaggio 6.2.2.6

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 6.2.2.7

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{π}{3}) = - 6 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 6.2.2.8

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 6.2.2.9

Moltiplica $- 6 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 6 \cdot - 1$

Passaggio 6.2.2.9.2

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 6$

Passaggio 6.2.2.10

La risposta finale è $6$ .

$6$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (- 3 \frac{π}{2} + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

$- 3$ e $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (\frac{- 3 π}{2} + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.3.2.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (- \frac{3 π}{2} + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (\frac{- 3 π + π}{2})$

Passaggio 6.3.2.2.2

Somma $- 3 π$ e $π$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (\frac{- 2 π}{2})$

Passaggio 6.3.2.2.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 π$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (\frac{2 (- π)}{2})$

Passaggio 6.3.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (\frac{2 (- π)}{2 (1)})$

Passaggio 6.3.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (\frac{2 (- π)}{2 \cdot 1})$

Passaggio 6.3.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (\frac{- π}{1})$

Passaggio 6.3.2.2.3.2.4

Dividi $- π$ per $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (- π)$

Passaggio 6.3.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \sin (0)$

Passaggio 6.3.2.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 6 \cdot 0$

Passaggio 6.3.2.5

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0$

Passaggio 6.3.2.6

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{2 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (- 3 \frac{2 π}{3} + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (3 (- 1) (\frac{2 π}{3}) + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (3 \cdot (- 1 \frac{2 π}{3}) + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.4.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (- 1 (2 π) + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.4.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (- 2 π + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.4.2.2

Per scrivere $- 2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (- 2 π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.4.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1

$- 2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (\frac{- 2 π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.4.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (\frac{- 2 π \cdot 2 + π}{2})$

Passaggio 6.4.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.4.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (\frac{- 4 π + π}{2})$

Passaggio 6.4.2.4.2

Somma $- 4 π$ e $π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (\frac{- 3 π}{2})$

Passaggio 6.4.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (- \frac{3 π}{2})$

Passaggio 6.4.2.6

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.4.2.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6 \cdot 1$

Passaggio 6.4.2.8

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 6$

Passaggio 6.4.2.9

La risposta finale è $- 6$ .

$- 6$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{5 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (- 3 \frac{5 π}{6} + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (3 (- 1) (\frac{5 π}{6}) + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.5.2.1.1.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (3 \cdot (- 1 \frac{5 π}{3 \cdot 2}) + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.5.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (3 \cdot (- 1 \frac{5 π}{3 \cdot 2}) + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.5.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (- 1 \frac{5 π}{2} + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.5.2.1.2

Riscrivi $- 1 \frac{5 π}{2}$ come $- \frac{5 π}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (- \frac{5 π}{2} + \frac{π}{2})$

Passaggio 6.5.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (\frac{- 5 π + π}{2})$

Passaggio 6.5.2.2.2

Somma $- 5 π$ e $π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (\frac{- 4 π}{2})$

Passaggio 6.5.2.2.3

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.3.1

Scomponi $2$ da $- 4 π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (\frac{2 (- 2 π)}{2})$

Passaggio 6.5.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (\frac{2 (- 2 π)}{2 (1)})$

Passaggio 6.5.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (\frac{2 (- 2 π)}{2 \cdot 1})$

Passaggio 6.5.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (\frac{- 2 π}{1})$

Passaggio 6.5.2.2.3.2.4

Dividi $- 2 π$ per $1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (- 2 π)$

Passaggio 6.5.2.3

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \sin (0)$

Passaggio 6.5.2.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 6 \cdot 0$

Passaggio 6.5.2.5

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 0$

Passaggio 6.5.2.6

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & 6 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & - 6 \\ \frac{5 π}{6} & 0 \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $6$

Periodo: $\frac{2 π}{3}$

Sfasamento: $\frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ a destra)

Traslazione verticale: no

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & 6 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & - 6 \\ \frac{5 π}{6} & 0 \end{array}$

Passaggio 8