Trigonometria Esempi

$y = \sin (\frac{1}{4} x + \frac{π}{3})$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \sin (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = 1$

$b = \frac{1}{4}$

$c = - \frac{π}{3}$

$d = 0$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $1$

Passaggio 3

Trova il periodo di $\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{4}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{4} |}$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{4}$ corrisponde approssimativamente a $0.25$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{4}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 4$

Passaggio 3.5

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 π$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{- \frac{π}{3}}{\frac{1}{4}}$

Passaggio 4.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

Sfasamento: $- \frac{π}{3} \cdot 4$

Passaggio 4.4

Moltiplica $- \frac{π}{3} \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

Sfasamento: $- 4 \frac{π}{3}$

Passaggio 4.4.2

$- 4$ e $\frac{π}{3}$ .

Sfasamento: $\frac{- 4 π}{3}$

Passaggio 4.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

Sfasamento: $- \frac{4 π}{3}$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $1$

Periodo: $8 π$

Sfasamento: $- \frac{4 π}{3}$ ( $\frac{4 π}{3}$ a sinistra)

Traslazione verticale: no

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = - \frac{4 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{4 π}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{4 π}{3}) = \sin (\frac{- \frac{4 π}{3}}{4} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (- \frac{4 π}{3}) = \sin (- \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.1.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{4 π}{3}$ nel numeratore.

$f (- \frac{4 π}{3}) = \sin (\frac{- 4 π}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.1.2.1.2.2

Scomponi $4$ da $- 4 π$ .

$f (- \frac{4 π}{3}) = \sin (\frac{4 (- π)}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.1.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{4 π}{3}) = \sin (\frac{4 (- π)}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.1.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{4 π}{3}) = \sin (\frac{- π}{3} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.1.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{4 π}{3}) = \sin (- \frac{π}{3} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.1.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{4 π}{3}) = \sin (\frac{- π + π}{3})$

Passaggio 6.1.2.2.2

Somma $- π$ e $π$ .

$f (- \frac{4 π}{3}) = \sin (\frac{0}{3})$

Passaggio 6.1.2.2.3

Dividi $0$ per $3$ .

$f (- \frac{4 π}{3}) = \sin (0)$

Passaggio 6.1.2.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (- \frac{4 π}{3}) = 0$

Passaggio 6.1.2.4

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{2 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{\frac{2 π}{3}}{4} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.2.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.2.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.2.2.1.3

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{π}{3 \cdot 2} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.2.2.1.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.2.2.2

Per scrivere $\frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 6.2.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

Passaggio 6.2.2.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 2}{6})$

Passaggio 6.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{π + π \cdot 2}{6})$

Passaggio 6.2.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{6})$

Passaggio 6.2.2.5.2

Somma $π$ e $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{3 π}{6})$

Passaggio 6.2.2.6

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.6.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{3 (π)}{6})$

Passaggio 6.2.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Passaggio 6.2.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Passaggio 6.2.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.2.2.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 1$

Passaggio 6.2.2.8

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{8 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{8 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{8 π}{3}) = \sin (\frac{\frac{8 π}{3}}{4} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{8 π}{3}) = \sin (\frac{8 π}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.2.1

Scomponi $4$ da $8 π$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = \sin (\frac{4 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{8 π}{3}) = \sin (\frac{4 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{8 π}{3}) = \sin (\frac{2 π}{3} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{8 π}{3}) = \sin (\frac{2 π + π}{3})$

Passaggio 6.3.2.2.2

Somma $2 π$ e $π$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = \sin (\frac{3 π}{3})$

Passaggio 6.3.2.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{8 π}{3}) = \sin (\frac{3 π}{3})$

Passaggio 6.3.2.2.3.2

Dividi $π$ per $1$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = \sin (π)$

Passaggio 6.3.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{8 π}{3}) = \sin (0)$

Passaggio 6.3.2.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = 0$

Passaggio 6.3.2.5

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{14 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{14 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{14 π}{3}) = \sin (\frac{\frac{14 π}{3}}{4} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{14 π}{3}) = \sin (\frac{14 π}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $14 π$ .

$f (\frac{14 π}{3}) = \sin (\frac{2 (7 π)}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.4.2.1.2.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{14 π}{3}) = \sin (\frac{2 (7 π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.4.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{14 π}{3}) = \sin (\frac{2 (7 π)}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.4.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{14 π}{3}) = \sin (\frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.4.2.1.3

Moltiplica $\frac{7 π}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{14 π}{3}) = \sin (\frac{7 π}{3 \cdot 2} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.4.2.1.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{14 π}{3}) = \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.4.2.2

Per scrivere $\frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{14 π}{3}) = \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 6.4.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{14 π}{3}) = \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

Passaggio 6.4.2.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{14 π}{3}) = \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π \cdot 2}{6})$

Passaggio 6.4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{14 π}{3}) = \sin (\frac{7 π + π \cdot 2}{6})$

Passaggio 6.4.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.5.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$f (\frac{14 π}{3}) = \sin (\frac{7 π + 2 \cdot π}{6})$

Passaggio 6.4.2.5.2

Somma $7 π$ e $2 π$ .

$f (\frac{14 π}{3}) = \sin (\frac{9 π}{6})$

Passaggio 6.4.2.6

Elimina il fattore comune di $9$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.6.1

Scomponi $3$ da $9 π$ .

$f (\frac{14 π}{3}) = \sin (\frac{3 (3 π)}{6})$

Passaggio 6.4.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$f (\frac{14 π}{3}) = \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

Passaggio 6.4.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{14 π}{3}) = \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

Passaggio 6.4.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{14 π}{3}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 6.4.2.7

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{14 π}{3}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.4.2.8

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{14 π}{3}) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 6.4.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{14 π}{3}) = - 1$

Passaggio 6.4.2.10

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{20 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{20 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{20 π}{3}) = \sin (\frac{\frac{20 π}{3}}{4} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{20 π}{3}) = \sin (\frac{20 π}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.5.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.2.1

Scomponi $4$ da $20 π$ .

$f (\frac{20 π}{3}) = \sin (\frac{4 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.5.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{20 π}{3}) = \sin (\frac{4 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.5.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{20 π}{3}) = \sin (\frac{5 π}{3} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.5.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{20 π}{3}) = \sin (\frac{5 π + π}{3})$

Passaggio 6.5.2.2.2

Somma $5 π$ e $π$ .

$f (\frac{20 π}{3}) = \sin (\frac{6 π}{3})$

Passaggio 6.5.2.2.3

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.3.1

Scomponi $3$ da $6 π$ .

$f (\frac{20 π}{3}) = \sin (\frac{3 (2 π)}{3})$

Passaggio 6.5.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f (\frac{20 π}{3}) = \sin (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})$

Passaggio 6.5.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{20 π}{3}) = \sin (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})$

Passaggio 6.5.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{20 π}{3}) = \sin (\frac{2 π}{1})$

Passaggio 6.5.2.2.3.2.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$f (\frac{20 π}{3}) = \sin (2 π)$

Passaggio 6.5.2.3

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (\frac{20 π}{3}) = \sin (0)$

Passaggio 6.5.2.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (\frac{20 π}{3}) = 0$

Passaggio 6.5.2.5

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{4 π}{3} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 1 \\ \frac{8 π}{3} & 0 \\ \frac{14 π}{3} & - 1 \\ \frac{20 π}{3} & 0 \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $1$

Periodo: $8 π$

Sfasamento: $- \frac{4 π}{3}$ ( $\frac{4 π}{3}$ a sinistra)

Traslazione verticale: no

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{4 π}{3} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 1 \\ \frac{8 π}{3} & 0 \\ \frac{14 π}{3} & - 1 \\ \frac{20 π}{3} & 0 \end{array}$

Passaggio 8