Trigonometria Esempi

$y = \frac{1}{2} \cdot \cos (x) - 2$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \cos (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = \frac{1}{2}$

$b = 1$

$c = 0$

$d = - 2$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $\frac{1}{2}$

Passaggio 3

Trova il periodo usando la formula $\frac{2 π}{| b |}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il periodo di $\frac{\cos (x)}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.1.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.1.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.2

Trova il periodo di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.2.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.3

Il periodo di addizione/sottrazione delle funzioni trigonometriche è il massimo dei periodi individuali.

$2 π$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{0}{1}$

Passaggio 4.3

Dividi $0$ per $1$ .

Sfasamento: $0$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $\frac{1}{2}$

Periodo: $2 π$

Sfasamento: nessuno

Traslazione verticale: $- 2$

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{\cos (0)}{2} - 2$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (0) = \frac{1}{2} - 2$

Passaggio 6.1.2.2

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 6.1.2.3

$- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 6.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (0) = \frac{1 - 2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 6.1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.5.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f (0) = \frac{1 - 4}{2}$

Passaggio 6.1.2.5.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$f (0) = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 6.1.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (0) = - \frac{3}{2}$

Passaggio 6.1.2.7

La risposta finale è $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{\cos (\frac{π}{2})}{2} - 2$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{0}{2} - 2$

Passaggio 6.2.2.1.2

Dividi $0$ per $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 2$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 2$

Passaggio 6.2.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $π$ nell'espressione.

$f (π) = \frac{\cos (π)}{2} - 2$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (π) = \frac{- \cos (0)}{2} - 2$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (π) = \frac{- 1 \cdot 1}{2} - 2$

Passaggio 6.3.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (π) = \frac{- 1}{2} - 2$

Passaggio 6.3.2.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (π) = - \frac{1}{2} - 2$

Passaggio 6.3.2.2

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (π) = - \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 6.3.2.3

$- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (π) = - \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 6.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (π) = \frac{- 1 - 2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 6.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.5.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f (π) = \frac{- 1 - 4}{2}$

Passaggio 6.3.2.5.2

Sottrai $4$ da $- 1$ .

$f (π) = \frac{- 5}{2}$

Passaggio 6.3.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (π) = - \frac{5}{2}$

Passaggio 6.3.2.7

La risposta finale è $- \frac{5}{2}$ .

$- \frac{5}{2}$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{3 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{\cos (\frac{3 π}{2})}{2} - 2$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{\cos (\frac{π}{2})}{2} - 2$

Passaggio 6.4.2.1.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{0}{2} - 2$

Passaggio 6.4.2.1.2

Dividi $0$ per $2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0 - 2$

Passaggio 6.4.2.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2$

Passaggio 6.4.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = 2 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2 π$ nell'espressione.

$f (2 π) = \frac{\cos (2 π)}{2} - 2$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (2 π) = \frac{\cos (0)}{2} - 2$

Passaggio 6.5.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (2 π) = \frac{1}{2} - 2$

Passaggio 6.5.2.2

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (2 π) = \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 6.5.2.3

$- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (2 π) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 6.5.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (2 π) = \frac{1 - 2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 6.5.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.5.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f (2 π) = \frac{1 - 4}{2}$

Passaggio 6.5.2.5.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$f (2 π) = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 6.5.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (2 π) = - \frac{3}{2}$

Passaggio 6.5.2.7

La risposta finale è $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - \frac{3}{2} \\ \frac{π}{2} & - 2 \\ π & - \frac{5}{2} \\ \frac{3 π}{2} & - 2 \\ 2 π & - \frac{3}{2} \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $\frac{1}{2}$

Periodo: $2 π$

Sfasamento: nessuno

Traslazione verticale: $- 2$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - \frac{3}{2} \\ \frac{π}{2} & - 2 \\ π & - \frac{5}{2} \\ \frac{3 π}{2} & - 2 \\ 2 π & - \frac{3}{2} \end{array}$

Passaggio 8