Trigonometria Esempi

$y = \frac{1}{3} \cdot \sin (x + \frac{π}{6}) - \frac{1}{2}$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \sin (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = \frac{1}{3}$

$b = 1$

$c = - \frac{π}{6}$

$d = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $\frac{1}{3}$

Passaggio 3

Trova il periodo usando la formula $\frac{2 π}{| b |}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il periodo di $\frac{\sin (x + \frac{π}{6})}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.1.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.1.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.2

Trova il periodo di $- \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.2.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.3

Il periodo di addizione/sottrazione delle funzioni trigonometriche è il massimo dei periodi individuali.

$2 π$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{- \frac{π}{6}}{1}$

Passaggio 4.3

Dividi $- \frac{π}{6}$ per $1$ .

Sfasamento: $- \frac{π}{6}$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $\frac{1}{3}$

Periodo: $2 π$

Sfasamento: $- \frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ a sinistra)

Traslazione verticale: $- \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = - \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{π}{6}$ nell'espressione.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{\sin ((- \frac{π}{6}) + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Somma $- \frac{π}{6}$ e $\frac{π}{6}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{\sin (0)}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.2.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{0}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.1.2.2.2

Dividi $0$ per $3$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 0 - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.1.2.3

Sottrai $\frac{1}{2}$ da $0$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.1.2.4

La risposta finale è $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin ((\frac{π}{3}) + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Per scrivere $\frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{π \cdot 2 + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2.4

Somma $π \cdot 2$ e $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.4.1

Riordina $π$ e $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{2 \cdot π + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2.4.2

Somma $2 \cdot π$ e $π$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 \cdot π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.1

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.1.1

Scomponi $3$ da $3 \cdot π$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 (π)}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2.5.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.1.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2.5.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2.5.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2.5.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2.6

Per scrivere $\frac{1}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2.7

Per scrivere $- \frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 6.2.2.8

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.8.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 6.2.2.8.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 6.2.2.8.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.2.2.8.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2}{6} - \frac{3}{6}$

Passaggio 6.2.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 - 3}{6}$

Passaggio 6.2.2.10

Sottrai $3$ da $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{- 1}{6}$

Passaggio 6.2.2.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{π}{3}) = - \frac{1}{6}$

Passaggio 6.2.2.12

La risposta finale è $- \frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6}$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{5 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin ((\frac{5 π}{6}) + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{5 π + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Somma $5 π$ e $π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{6 π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{6 π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Dividi $π$ per $1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (π)}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3.2.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (0)}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3.2.2.2.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{0}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3.2.2.3

Dividi $0$ per $3$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 0 - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3.2.3

Sottrai $\frac{1}{2}$ da $0$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3.2.4

La risposta finale è $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{4 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{4 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin ((\frac{4 π}{3}) + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Per scrivere $\frac{4 π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4.2.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1

Moltiplica $\frac{4 π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{4 π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4.2.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{4 π \cdot 2}{6} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{4 π \cdot 2 + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.4.1.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{8 π + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4.2.4.1.2

Somma $8 π$ e $π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{9 π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4.2.4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.4.2.1.1

Scomponi $3$ da $9 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 (3 π)}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4.2.4.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.4.2.1.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4.2.4.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4.2.4.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{2})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4.2.4.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4.2.4.2.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 1 \cdot 1}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4.2.4.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 1}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4.2.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4.2.5

Per scrivere $- \frac{1}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.4.2.6

Per scrivere $- \frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 6.4.2.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.7.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 6.4.2.7.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 6.4.2.7.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.4.2.7.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{2}{6} - \frac{3}{6}$

Passaggio 6.4.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 2 - 3}{6}$

Passaggio 6.4.2.9

Sottrai $3$ da $- 2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 5}{6}$

Passaggio 6.4.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{5}{6}$

Passaggio 6.4.2.11

La risposta finale è $- \frac{5}{6}$ .

$- \frac{5}{6}$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = \frac{11 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{11 π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin ((\frac{11 π}{6}) + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{11 π + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.5.2.1.2

Somma $11 π$ e $π$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{12 π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.5.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1.1

Scomponi $6$ da $12 π$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{6 (2 π)}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.5.2.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1.2.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{6 (2 π)}{6 (1)})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.5.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{6 (2 π)}{6 \cdot 1})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.5.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{2 π}{1})}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.5.2.2.1.2.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (2 π)}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.5.2.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.2.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (0)}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.5.2.2.2.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{0}{3} - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.5.2.2.3

Dividi $0$ per $3$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 0 - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.5.2.3

Sottrai $\frac{1}{2}$ da $0$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 6.5.2.4

La risposta finale è $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{6} & - \frac{1}{2} \\ \frac{π}{3} & - \frac{1}{6} \\ \frac{5 π}{6} & - \frac{1}{2} \\ \frac{4 π}{3} & - \frac{5}{6} \\ \frac{11 π}{6} & - \frac{1}{2} \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $\frac{1}{3}$

Periodo: $2 π$

Sfasamento: $- \frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ a sinistra)

Traslazione verticale: $- \frac{1}{2}$

Passaggio 8