Trigonometria Esempi

$y = \frac{\ln ({(x)}^{2})}{x}$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

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Passaggio 1.1

Trova dove l'espressione $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 1.2

Ignorando il logaritmo, considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 1.3

Trova $n$ e $m$ .

$n = 0$

$m = 1$

Passaggio 1.4

Poiché $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

$y = 0$

Passaggio 1.5

Non sono presenti asintoti obliqui per le funzioni logaritmiche e trigonometriche.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 1.6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 0$

Asintoti orizzontali: $y = 0$

Asintoti verticali: $x = 0$

Asintoti orizzontali: $y = 0$

Passaggio 2

Trova il punto in corrispondenza di $x = 1$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{\ln ({(1)}^{2})}{1}$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.2.1

Dividi $\ln ({(1)}^{2})$ per $1$ .

$f (1) = \ln ({(1)}^{2})$

Passaggio 2.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \ln (1)$

Passaggio 2.2.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$f (1) = 0$

Passaggio 2.2.4

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 2.3

Converti $0$ in decimale.

$y = 0$

Passaggio 3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 2$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \frac{\ln ({(2)}^{2})}{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Espandi $\ln ({(2)}^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$f (2) = \frac{2 \ln (2)}{2}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (2) = \frac{2 \ln (2)}{2}$

Passaggio 3.2.2.2

Dividi $\ln (2)$ per $1$ .

$f (2) = \ln (2)$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Passaggio 3.3

Converti $\ln (2)$ in decimale.

$y = 0.69314718$

Passaggio 4

Trova il punto in corrispondenza di $x = 3$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \frac{\ln ({(3)}^{2})}{3}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Riscrivi $\frac{\ln ({(3)}^{2})}{3}$ come $\frac{1}{3} \ln ({(3)}^{2})$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln ({(3)}^{2})$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $\frac{1}{3} \ln ({(3)}^{2})$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$f (3) = \ln ({({(3)}^{2})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(3)}^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Passaggio 4.2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3) = \ln (3^{2 (\frac{1}{3})})$

Passaggio 4.2.3.2

$2$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è $\ln (3^{\frac{2}{3}})$ .

$\ln (3^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 4.3

Converti $\ln (3^{\frac{2}{3}})$ in decimale.

$y = 0.73240819$

Passaggio 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente utilizzando l'asintoto verticale in $x = 0$ e i punti $(1, 0), (2, 0.69314718), (3, 0.73240819)$ .

Asintoto verticale: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.693 \\ 3 & 0.732 \end{array}$

Passaggio 6