Trigonometria Esempi

${(1 - i)}^{5}$

Passaggio 1

Usa il teorema binomiale.

$1^{5} + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 5 \cdot 1 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$1 + 5 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$1 - 5 i + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 5 i + 10 \cdot 1 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.6

Moltiplica $10$ per $1$ .

$1 - 5 i + 10 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.7

Applica la regola del prodotto a $- i$ .

$1 - 5 i + 10 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 - 5 i + 10 (1 i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.9

Moltiplica $i^{2}$ per $1$ .

$1 - 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.10

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 - 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.11

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.12

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.13

Moltiplica $10$ per $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.14

Applica la regola del prodotto a $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.15

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.16

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.17

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.18

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- - i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.19

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (1 i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.20

Moltiplica $i$ per $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.21

Moltiplica $5$ per $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.22

Applica la regola del prodotto a $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.23

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 (1 i^{4}) + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.24

Moltiplica $i^{4}$ per $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 i^{4} + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.25

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.25.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.25.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.25.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.26

Moltiplica $5$ per $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- i)}^{5}$

Passaggio 2.1.27

Applica la regola del prodotto a $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- 1)}^{5} i^{5}$

Passaggio 2.1.28

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i^{5}$

Passaggio 2.1.29

Metti in evidenza $i^{4}$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (i^{4} i)$

Passaggio 2.1.30

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.30.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(i^{2})}^{2} i)$

Passaggio 2.1.30.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(- 1)}^{2} i)$

Passaggio 2.1.30.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (1 i)$

Passaggio 2.1.31

Moltiplica $i$ per $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i$

Passaggio 2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $10$ da $1$ .

$- 9 - 5 i + 10 i + 5 - i$

Passaggio 2.2.2

Somma $- 9$ e $5$ .

$- 4 - 5 i + 10 i - i$

Passaggio 2.2.3

Somma $- 5 i$ e $10 i$ .

$- 4 + 5 i - i$

Passaggio 2.2.4

Sottrai $i$ da $5 i$ .

$- 4 + 4 i$

Passaggio 3

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 4

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 5

Sostituisci i valori effettivi di $a = - 4$ e $b = 4$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Passaggio 6

Trova $| z |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16}$

Passaggio 6.3

Somma $16$ e $16$ .

$| z | = \sqrt{32}$

Passaggio 6.4

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$| z | = \sqrt{16 (2)}$

Passaggio 6.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Passaggio 6.5

Estrai i termini dal radicale.

$| z | = 4 \sqrt{2}$

Passaggio 7

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{4}{- 4})$

Passaggio 8

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{4}{- 4}$ produce un angolo nel secondo quadrante, il valore dell'angolo è $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 9

Sostituisci i valori di $θ = \frac{3 π}{4}$ e $| z | = 4 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$