Trigonometria Esempi

$\tan (- 105)$

Passaggio 1

Per prima cosa, dividi l'angolo in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti. In questo caso, $- 105$ può essere diviso in $45 - 150$ .

$\tan (45 - 150)$

Passaggio 2

Utilizza la formula di sottrazione della tangente per semplificare l'espressione. La formula stabilisce che $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (45) - \tan (150)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Passaggio 3

Rimuovi le parentesi.

$\frac{\tan (45) - \tan (150)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il valore esatto di $\tan (45)$ è $1$ .

$\frac{1 - \tan (150)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Passaggio 4.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel secondo quadrante.

$\frac{1 - - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Passaggio 4.3

Il valore esatto di $\tan (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{3}$ per $1$ .

$\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Passaggio 4.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Passaggio 4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Passaggio 5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il valore esatto di $\tan (45)$ è $1$ .

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (150)}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\tan (150)$ per $1$ .

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (150)}$

Passaggio 5.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel secondo quadrante.

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \tan (30)}$

Passaggio 5.4

Il valore esatto di $\tan (30)$ è $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Passaggio 5.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Passaggio 5.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}$

Passaggio 6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

Passaggio 7

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

Passaggio 7.2

Riscrivi l'espressione.

$(3 + \sqrt{3}) \frac{1}{3 - \sqrt{3}}$

Passaggio 8

Moltiplica $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ per $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$(3 + \sqrt{3}) (\frac{1}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})$

Passaggio 9

Semplifica i termini.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ per $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$(3 + \sqrt{3}) \frac{3 + \sqrt{3}}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Passaggio 9.2

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$(3 + \sqrt{3}) \frac{3 + \sqrt{3}}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

$(3 + \sqrt{3}) \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 9.4

Applica la proprietà distributiva.

$3 \frac{3 + \sqrt{3}}{6} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 9.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 9.5.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 (2)} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 9.5.2

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 \cdot 2} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 9.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 9.6

$\sqrt{3}$ e $\frac{3 + \sqrt{3}}{6}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Passaggio 10

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 10.2

Sposta $3$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 10.3

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}$

Passaggio 10.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.4.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}$

Passaggio 10.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}$

Passaggio 10.4.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Passaggio 10.5

Elimina il fattore comune di $3 \sqrt{3} + 3$ e $6$ .

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Passaggio 10.5.1

Scomponi $3$ da $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3}) + 3}{6}$

Passaggio 10.5.2

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (1)}{6}$

Passaggio 10.5.3

Scomponi $3$ da $3 (\sqrt{3}) + 3 (1)$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{6}$

Passaggio 10.5.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.4.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 (2)}$

Passaggio 10.5.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 \cdot 2}$

Passaggio 10.5.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

Passaggio 11

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{2}$

Passaggio 11.2

Somma $3$ e $1$ .

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 11.3

Somma $\sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 11.4

Elimina il fattore comune di $4 + 2 \sqrt{3}$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 11.4.2

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{2}$

Passaggio 11.4.3

Scomponi $2$ da $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 11.4.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (1)}$

Passaggio 11.4.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 11.4.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Passaggio 11.4.4.4

Dividi $2 + \sqrt{3}$ per $1$ .

$2 + \sqrt{3}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$2 + \sqrt{3}$

Forma decimale:

$3.73205080 \dots$