Trigonometria Esempi

${(\tan (x) + \cot (x))}^{2} = \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi ${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ come $(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x))$ .

$(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x))$

Passaggio 2.2

Espandi $(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\tan (x) (\tan (x) + \cot (x)) + \cot (x) (\tan (x) + \cot (x))$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) (\tan (x) + \cot (x))$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x)$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

$\tan^{2} (x) + 2 \cot (x) \tan (x) + \cot^{2} (x)$

Passaggio 3

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$\sec^{2} (x) - 1 + 2 \cot (x) \tan (x) + \cot^{2} (x)$

Passaggio 4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\sec^{2} (x) - 1^{2} + 2 \cot (x) \tan (x) + \cot^{2} (x)$

Passaggio 4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \sec (x)$ e $b = 1$ .

$(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1) + 2 \cot (x) \tan (x) + \cot^{2} (x)$

Passaggio 5

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1) + 2 \cot (x) \tan (x) + \csc^{2} (x) - 1$

Passaggio 6

Converti in seni e coseni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica l'identità reciproca a $\sec (x)$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\sec (x) - 1) + 2 \cot (x) \tan (x) + \csc^{2} (x) - 1$

Passaggio 6.2

Applica l'identità reciproca a $\sec (x)$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + 2 \cot (x) \tan (x) + \csc^{2} (x) - 1$

Passaggio 6.3

Scrivi $\cot (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \tan (x) + \csc^{2} (x) - 1$

Passaggio 6.4

Scrivi $\tan (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \csc^{2} (x) - 1$

Passaggio 6.5

Applica l'identità reciproca a $\csc (x)$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 1$

Passaggio 6.6

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - 1$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Espandi $(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + 1 (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.1.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ per $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.2.1.1.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.2.1.1.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.2.1.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.2.1.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.2.1.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{- 1}{\cos (x)} + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{\cos (x)} + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.2.1.4

Moltiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ per $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.2.2

Per scrivere $- \frac{1}{\cos (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${\cos (x)}^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ per $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.2.3.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.2.3.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.2.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.2.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.2.5

Per scrivere $\frac{1}{\cos (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.2.6

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${\cos (x)}^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.6.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ per $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) \cos (x)} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.2.6.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.2.6.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.2.6.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.2.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} - 1 + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.2.8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} - 1 \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.2.9

$- 1$ e $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{- {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.1

Somma $- \cos (x)$ e $\cos (x)$ .

$\frac{1 + 0 - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1 - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.3.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.3.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.4

$2$ e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.5

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.5.1

Scomponi $\cos (x)$ da $2 \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{2}{\sin (x)} \sin (x) + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.6

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{2}{\sin (x)} \sin (x) + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} + 2 + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.1.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} + 2 + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Espandi $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x)) + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x)) + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x)) + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.4.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x)) + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.4.2.1.2

Moltiplica $- \cos (x)$ per $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x)) + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.4.2.1.3

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x)) + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.4.2.1.4

Moltiplica $\cos (x) (- \cos (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.4.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x)) + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.4.2.1.4.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}) + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.4.2.1.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.4.2.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{2} + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.4.2.2

Somma $- \cos (x)$ e $\cos (x)$ .

$\frac{1 + 0 - {\cos (x)}^{2} + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.4.2.3

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1 - {\cos (x)}^{2} + 2 {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.4.3

Somma $- {\cos (x)}^{2}$ e $2 {\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{1 + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.5

Per scrivere $\frac{1 + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1 + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.6

Per scrivere $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1 + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 7.7.1

Moltiplica $\frac{1 + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ per $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{(1 + {\cos (x)}^{2}) {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.7.2

Moltiplica $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ per $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{(1 + {\cos (x)}^{2}) {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} - 1$

$\frac{(1 + {\cos (x)}^{2}) {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(1 + {\cos (x)}^{2}) {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.9.2

Moltiplica ${\sin (x)}^{2}$ per $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - 1$

Passaggio 7.10

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - 1 \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.11

$- 1$ e $\frac{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + \frac{- ({\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} - ({\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 7.13

Semplifica il numeratore.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Passaggio 8

Ora considera il lato destro dell'equazione.

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Passaggio 9

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 9.1

Applica l'identità reciproca a $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \csc^{2} (x)$

Passaggio 9.2

Applica l'identità reciproca a $\csc (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Passaggio 9.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Passaggio 9.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 10

Semplifica ciascun termine.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 11

Somma le frazioni.

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Passaggio 11.1

Per scrivere $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 11.2

Per scrivere $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 11.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 11.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ per $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 11.3.2

Moltiplica $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ per $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}$

Passaggio 11.3.3

Riordina i fattori di $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Passaggio 11.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Passaggio 12

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

${(\tan (x) + \cot (x))}^{2} = \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$ è un'identità