Trigonometria Esempi

$\cot (x) \sec^{4} (x) = \cot (x) + 2 \tan (x) + \tan^{3} (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato destro.

$\cot (x) + 2 \tan (x) + \tan^{3} (x)$

Passaggio 2

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 2.1

Scrivi $\cot (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 2 \tan (x) + \tan^{3} (x)$

Passaggio 2.2

Scrivi $\tan (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \tan^{3} (x)$

Passaggio 2.3

Scrivi $\tan (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{3}$

Passaggio 2.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

$2$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

Passaggio 3.2

Per scrivere $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

Passaggio 3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${\cos (x)}^{3}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ per $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) {\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $\cos (x)$ per ${\cos (x)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $\cos (x)$ per ${\cos (x)}^{2}$ .

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Passaggio 3.3.2.1.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1 + 2}} + \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{3}} + \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

Passaggio 3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

Passaggio 3.5

Scomponi $\sin (x)$ da $2 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{3}$ .

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Passaggio 3.5.1

Scomponi $\sin (x)$ da $2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2}) + {\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $\sin (x)$ da ${\sin (x)}^{3}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2}) + \sin (x) {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{3}}$

Passaggio 3.5.3

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2}) + \sin (x) {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{3}}$

Passaggio 3.6

Per scrivere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{3}}$

Passaggio 3.7

Per scrivere $\frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{3}} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 3.8

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $\sin (x) {\cos (x)}^{3}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 3.8.1

Moltiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ per $\frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$ .

$\frac{\cos (x) {\cos (x)}^{3}}{\sin (x) {\cos (x)}^{3}} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{3}} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica $\frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{3}}$ per $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) {\cos (x)}^{3}}{\sin (x) {\cos (x)}^{3}} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2}) \sin (x)}{{\cos (x)}^{3} \sin (x)}$

Passaggio 3.8.3

Riordina i fattori di $\sin (x) {\cos (x)}^{3}$ .

$\frac{\cos (x) {\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3} \sin (x)} + \frac{\sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2}) \sin (x)}{{\cos (x)}^{3} \sin (x)}$

Passaggio 3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\cos (x) {\cos (x)}^{3} + \sin (x) (2 {\cos (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2}) \sin (x)}{{\cos (x)}^{3} \sin (x)}$

Passaggio 3.10

Semplifica il numeratore.

$\frac{{(\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))}^{2}}{\cos^{3} (x) \sin (x)}$

Passaggio 4

Applica l'identità pitagorica.

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Passaggio 4.1

Rimetti in ordine i termini.

$\frac{{(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}^{2}}{\cos^{3} (x) \sin (x)}$

Passaggio 4.2

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{1^{2}}{\cos^{3} (x) \sin (x)}$

Passaggio 5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{\cos^{3} (x) \sin (x)}$

Passaggio 6

Riscrivi $\frac{1}{\cos^{3} (x) \sin (x)}$ come $\cot (x) \sec^{4} (x)$ .

$\cot (x) \sec^{4} (x)$

Passaggio 7

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\cot (x) \sec^{4} (x) = \cot (x) + 2 \tan (x) + \tan^{3} (x)$ è un'identità